பெருவெடிப்பின் போது எல்லையற்றுச் சிறியதாக அழுத்தப்பட்டிருக்கும் அண்டம் என்கிற பொதுச் சார்புக் கொள்கையின் கணிப்பு, துளிம ஈர்ப்பியலைக் கருத்தில் கொள்ளும்போது மறைந்து விடுகிறது. எல்லயற்றுச் சிறியதான எதுவுமே இல்லை என்கிற கண்டறிதலே துளிம ஈர்ப்பியல். வெளியை வகுத்துச் செல்வதற்குக் கீழ் எல்லை என ஒன்று உள்ளது. அண்டம் ப்ளங்க் அளவை விட சிறியதாக முடியாது. ஏனெனில் ப்ளங்க் அளவுக்குக் கீழே எதுவுமே இருக்க இயலாது.

துளிம இயக்கவியலை தவிர்த்து விட்டால், இந்த கீழ் எல்லையையும் தவிர்க்க வேண்டும். பொதுச் சார்புக் கொள்கை கணித்த நோய்க்கூறான சூழ்நிலைகள், குறிப்பாக அக்கொள்கை கூறிய பிறிதின்மை (Singularity) என்கிற எல்லையற்ற அளவுகள் உள்ளன. முடிவின்மைக்கு எல்லை வகுத்து, பொதுச் சார்புக் கொள்கையின் நோய்க்கூறான பிறிதின்மையை துளிம ஈர்ப்பியல் குணப்படுத்தி விட்டது.

கருந்துளையின் மையத்திலும் இதுவே நிகழ்ந்தது: துளிம ஈர்ப்பியலை கைக்கொண்டவுடன் செவ்வியல் பொதுச் சார்புக் கொள்கை இங்கும் எதிர்பார்த்திருந்த பிறிதின்மை மறைந்தது.

இன்னொரு விஷயத்தில், பிறிதொரு வகையில், மின்காந்தம் போன்ற விசைகளைச் சார்ந்தும் முடிவின்மைக்கு துளிம ஈர்ப்பியல் எல்லை வகுத்தது. டிராக்கால் தொடங்கப்பட்டு ஃபெய்ன்மன் மற்றும் அவரது சகாக்களால் 1950ல் நிறைவுற்ற துளிமப் புலக் கொள்கை, விசைகளை தெளிவாக விளக்கினாலும், முற்றிலும் கணித அபத்தங்களால் நிறைந்திருந்தது. புற செயல்பாடுகளை கணிக்க முயலும்போது அடிக்கடி கிடைக்கும் எல்லையற்ற அளவுகளில் வரும் விடைகளுக்கு எந்தவொரு அர்த்தமும் இல்லை. இவற்றை புறனடைகள் (Divergences) என்பர். கணிப்புகளில் இவ்வாறு வரும் புறனைடைகளை ஒரு மேற்பூச்சு நுட்பம் வழியாக கணக்கீடுகளில் இருந்து அகற்றுவதன் வழி இறுதி விடைகளுக்கு வந்து சேர்வார்கள். இந்த திட்டம் நடைமுறையில் நன்றாகவே பயனளிக்கிறது – இறுதியில் பரிசோதனை முடிவுகளை அதன் எண்களுடன் மீண்டும் கொண்டு வந்தது. ஆனால், சரியான விடைகளைப் பெற ஏன் முடிவின்மை வழியாகச் செல்ல வேண்டும்?

தனது அந்திம காலத்தில், கொள்கைகளில் வரும் இந்த முடிவின்மைகள் / புறனடைகள் குறித்து டிராக் மிகுந்த அதிருப்தியடைந்தார். பிற விஷயங்களில் சரியாக இருந்தாலும், உள்ளது உள்ளபடி அறிய முயலும் அவரது குறிக்கோள் எட்டப்படவில்லை. டிராக் எப்போதுமே கருத்துத் தெளிவை – அந்தத் தெளிவு பிறருக்குத் தெளிவற்று இருக்கிறது என்றாலும் – விரும்புவர். முடிவின்மைகள் எந்தத் தெளிவையும் அளிப்பதில்லை.

ஆனால், துளிம புல கொள்கையில் வரும் முடிவின்மைகள் அதன் முதன்மை ஊகம் ஒன்றிலிருந்தே ஊற்றெடுக்கின்றன. வெளியை முடிவின்றி வகுத்தல். உதாரணமாக, ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவை கணிக்க, ஃபெய்ன்மன் கூறியபடி அந்நிகழ்வின் அனைத்து சாத்தியங்களையும் கூட்ட வேண்டும். இந்த சாத்தியக்கூறுகள் முடிவற்றவை – ஏனெனில், வெளியிட தொடர்-பொருண்மையின் (Spatial Continuum) முடிவற்றுப் பரவியுள்ள எந்தவொரு புள்ளியிலும் அது நிகழலாம். ஆகவேதான் முடிவின்மை விடையாகக் கிடைத்தது.

துளிம ஈர்ப்பியலை கருத்தில் கொள்ளும்போது, முடிவின்மைகள் மறைந்து விடுகின்றன. இதன் காரணம் தெளிவானது: வெளி எல்லையற்று வகுத்துச் செல்லக்கூடியதல்ல, எல்லையற்ற (இட)புள்ளிகள் என எதுவும் இல்லை. எல்லையற்று கூட்டி எண்ணக்கூடிய எதுவும் இல்லை. வெளியின் தனித்த நுண் கட்டமைப்பு, துளிமப் புல கொள்கையை பீடித்திருந்த முடிவின்மைகளை அகற்றி அதன் சிக்கல்களைத் தீர்த்தது.

உண்மையில் இதுவொரு மகத்தான தீர்வு. ஒரு பக்கம், ஐன்ஸ்டைனின் ஈர்ப்புக் கொள்கை உருவாக்கிய சிக்கல்களான பிறிதின்மை என்கிற முடிவிலிகளை துளிம இயக்கவியல் சரி செய்தது. மறுபக்கம், ஈர்ப்பியலை கைக்கொள்வதன் வழியாக துளிமப் புல கொள்கையின் சிக்கல்களான புறனடைகளும் தீர்க்கப்பட்டது. ஒன்றுக்கொன்று முரண்படுவது போல தோன்றினாலும், இவ்விரு கொள்கைகளும் மற்றவற்றின் சிக்கல்களை சரி செய்கின்றன.

முடிவின்மைக்கு எல்லை வகுப்பது நவீன இயற்பியலில் மீண்டும் மீண்டும் வரும் ஒரு கூற்று. அனைத்து புற அமைப்புகளது திசைவேகத்தின் அதிகபட்ச எல்லையை கண்டறிந்த ஒன்று என சிறப்பு சார்புக் கொள்கையைச் சுருக்கலாம். ஒவ்வொரு புற அமைப்பின் தகவல்களது உச்சபட்ச எல்லையைக் கண்டறிந்த ஒன்று என துளிம இயக்கவியலைச் சுருக்கலாம். ஆகக்குறைந்த அளவு என்பது ப்ளங்க் நீளம் (Planck Length) Lp, உச்சகட்ட திசைவேகம் என்பது ஒளியின் வேகம் c, ஒட்டுமொத்த தகவல்களது எண்ணிக்கை ப்ளங்க் மாறிலியால் (h) நிர்ணயிக்கப்படுகிறது. கட்டம் 11.1 இதை சுருக்ககமாகக் காட்டுகிறது.

இயற்பியல் அளவை	அடிப்படை மாறிலி	கோட்பாடு	கண்டுபிடிப்பு
திசைவேகம்	c	சிறப்புச் சார்பியல்	மீப்பெருந் திசைவேகம் ஒன்று உண்டு
தகவல் (செயல்கள்)	ℏ	துளிம இயக்கவியல்	மீச்சிறு தகவல் அளவு ஒன்று உண்டு
நீளம்	LP	துளிம ஈர்ப்பியல்	மீச்சிறு நீளம் ஒன்று உண்டு

அளவு, திசைவேகம் மற்றும் நிகழ்வுகளுக்கு குறைந்தபட்ச மற்றும் அதிகபட்ச மதிப்புகள் இருக்கின்றன என்பது இயல்பான ஓர் அலகுகளின் அமைப்பை உறுதி செய்கிறது. வேகத்தை மணிக்கு இத்தனை கிலோமீட்டர் என்றோ விநாடிக்கு இத்தனை மீட்டர்கள் என்றில்லாமல் ஒளியினது வேகத்தின் மீச்சிறு அலகுகளில் அளக்கலாம். திசைவேகம் c இல் ஒரு மதிப்பை I என வைத்துக் கொண்டு, ஒளியின் வேகத்தில் பாதியில் செல்லும் ஒரு பொருளின் திசைவேகத்தை v = I / 2 என எழுதலாம். அதே போன்று ப்ளங்க்-நீளத்தின் அலகுகளில் நீளத்தை உறுதியாக அளிக்கலாம். h = I என ப்ளங்க் மாறிலியின் அலகுகளில் செயல்களை அளக்கலாம். இவ்வாறாக, பிற்பாடு வளர்த்தெடுக்கக்கூடிய இயற்கையான ஓர் அலகுகளின் அமைப்பைப் பெற்றுள்ளோம். காலத்தின் ஓர் அடிப்படை அலகு என்பது ப்ளங்க்-நீளத்தை கடக்க எடுத்துக் கொள்ளும் கால அளவு – இவ்வாறு வளர்த்தெடுக்கலாம். துளிம ஈர்ப்பியலின் ஆய்வுகளில் இந்த இயற்கை அலகுகள் மிகப் பரவலாக பயன்படுத்தப் படுகின்றன.

இயற்கையின் எல்லையற்ற சாத்தியக்கூறுகள் என்பதை இம்மூன்று மாறிலிகளின் கண்டறிதல் கட்டுக்குள் கொண்டு வந்துள்ளது. முடிவிலி என்பது நாம் இன்னமும் எண்ணி முடிக்காத புரிந்து கொள்ளாத ஒன்று என்றும் கூறப்படுகிறது. பொது நோக்கில் அது உண்மை என்றே நினைக்கிறேன். நாம் இன்னமும் அறியாத ஒன்றிற்கு நாம் அளிக்கும் பெயரே ‘முடிவிலி’. உண்மையாகவே முடிவிலி என்று எதுவும் இல்லை என இயற்கை கூறுவதாகத்தான் தெரிகிறது.

நமது சிந்தனையை தடம்புரள வைக்கும் இன்னொரு முடிவிலி உள்ளது: அண்டத்தின் முடிவற்ற வெளியிட (Spatial) விரிதல். ஆனால், மூன்றாம் அத்தியாயத்தில் நான் விளக்கிய படி, எல்லைகளுடன் கூடிய முடிவுள்ள ஒரு பிரபஞ்சத்தை உருவகிக்கும் வழியை ஐன்ஸ்டைன் கண்டறிந்தார். தற்போதைய அளவீடுகளின் படி அண்டம் நூறு நூறு கோடி ஒளியாண்டுகளுக்கும் மேலே பெரியதாக இருக்கும். மறைமுகமாக நாம் அணுகியறியும் அண்டத்தின் பிரம்மாண்ட வீச்சு இது. ப்ளங்க் நீளத்தை விட 10⁶⁰ அளவு – ஒன்றிற்குப் பிறகு அறுபது பூஜ்ஜியங்கள் எண்ணிக்கையில் – பெரியது. ப்ளங்க் நீளத்திற்கும் பிரபஞ்ச அளவிற்கும் இடையே மலைக்க வைக்கும் அறுபது மடங்கு விலக்கம் உள்ளது. மிகப் பிரம்மாண்டமான, அதியற்புதமான ஆனால் எல்லைக்குட்பட்ட ஒன்று.

இந்த வெளியில் – வெளியினது துளிமத்தின் அளவுகளில் தொடங்கி க்வார்க்குகள், நேர்மின்மங்கள், அணுக்கள், வேதியியல் கட்டமைப்புகள், மலைகள், விண்மீன்கள், விண்மீன் மண்டலங்கள் (ஒவ்வொன்றும் நூறு கோடி விண்மீன்களால் ஆனவை), விண்மீன் மண்டலங்களின் தொகுப்புகள் (Clusters) என விரிவடையும் கட்புலனாகிற அண்டம் நூறு நூறு கோடி விண்மீன் மண்டலங்களுடன் உள்ளது. நாம் மிகச்சில கூறுகளின் வழியே அறிகின்ற அண்டம். மிகுந்த அடர்வுள்ளது. ஆனால் எல்லைக்குட்பட்டது.

பிரம்மாண்டமான இந்த பிரபஞ்ச அளவு, நமது கொள்கைகளின் அடிப்படை சமன்பாடுகளில் உள்நுழையும் பிரபஞ்ச மாறிலி (Λ)யின் (Cosmological Constant) மதிப்பில் எதிரொலிக்கிறது. ஆகவே, அடிப்படை கொள்கையே மிகப்பெரிய எண்ணினை – ப்ளங்க் நீளத்திற்கும் பிரபஞ்ச மாறிலிக்கும் இடையேயுள்ள விகிதத்தைக் – கொண்டிருக்கிறது. அண்டத்தின் விரிந்த சிடுக்குகளுக்கான வழியைத் திறந்துவிடும் மாபெரும் எண் இது. ஆனால், நாம் பார்த்துப் புரிந்து கொள்ளும் அண்டம் என்பது முடிவின்மையில் மூழ்கிச் செல்வது அல்ல. இது மிகப் பரந்த சமுத்திரம், ஆனால் எல்லைக்குட்பட்ட ஒன்று.

விவிலியத்திலுள்ள சீராக்கின் ஞானம், நம்மை மலைக்க வைக்கும்படி துவங்குகிறது:

கடல் மணலையோ மழைத் துளியையோ

முடிவிலாக் காலத்தையோ யாரே கணக்கிடுவர்?

வான்வெளியின் உயரத்தையோ

நிலவுலகின் அகலத்தையோ

ஆழ்கடலையோ ஞானத்தையோ

யாரே தேடிக் காண்பர்?

இந்த வரிகள் எழுதப்பட்டு சிறிது காலத்திற்குள்ளேயே எழுதப்பட்ட இன்னொரு மாபெரும் நூல் இவ்வாறு தொடங்குகிறது:

ஓ ஹைரோ மன்னனே, மணலின் பரல்களை எண்ண முடியாது என சிலர் கருதுகின்றனர்.

ஆர்க்கிமீடிஸ் எழுதி கிரேக்க மொழியில் சேமைட்ஸ் (Psammites) என்றும் ஆங்கிலத்தில் மணல் கணக்கன் (Sand Reckoner) எனப்படுகின்ற நூலின் தொடக்க வரிகள் அவை. பழமையின் மாபெரும் விஞ்ஞானி மணலின் பரல்களை கணக்கிடுகிறார்.

அவற்றின் எண்ணிக்கை ஆகப் பெரியது என்றாலும் எல்லைக்குட்பட்டது என்பதைக் காட்டவே அவர் முயன்றார். பழமையின் எண் முறை மிகப் பெரிய எண்களை எளிதாகக் கையாள உகந்தது அல்ல. மணல் கணக்கனில் நமது அடுக்குக்குறிகளைப் (Exponential) போன்று மிகப் பெரிய எண்களை கையாள்வதற்காக ஒரு புதிய எண் முறையையே ஆர்க்கிமீடிஸ் உருவாக்குகிறார். கடற்கரைகள் மட்டுமல்ல ஒட்டுமொத்த அண்டத்திலும் உள்ள மணலில் எத்தனை பரல்கள் உள்ளன என்று (விளையாட்டாகத்தான்) எண்ணி அந்த எண் முறையின் வலிமையைக் காட்டுகிறார்.

மணல் கணக்கன் வேடிக்கையான அதே சமயம் ஆழமானதொரு பிரதி. ஆயிரமாண்டுகளில் விழிப்புணர்வடைவோம் என்கிற பகற்கனவுடன், அமானுஷ்யங்கள் மற்றும் மனித சிந்தனையால் உள்ளார்ந்து அணுகவியலாத அறிவுத்துறைகளுக்கு எதிராக ஆர்க்கிமீடிஸ் கலகமூட்டினார். அண்டத்தின் துல்லிய அளவுகளையோ மணலின் பரல்களது துல்லிய எண்ணிக்கையையோ தான் அறிந்திருப்பதாக அவர் கூறவில்லை. தன்னுடைய அறிதலின் நிறைவின்மையை அவர் வலியுறுத்தவில்லை. மாறாக, தனது கணக்கீடுகளின் தோராயத்தையும், நிலைமாறும் தன்மையையுமே அவர் முன்வைக்கிறார். அண்டத்தின் உண்மையான அளவு குறித்து சாத்தியமான மாற்றுச் சிந்தனைகளையும் – அவற்றில் தனிப்பட்டு எதையும் தேர்ந்தெடுக்காமல் – அவர் பேசுகிறார். இங்கு வலியுறுத்துப்படுவது, அனைத்தையும் அறிந்திருப்பதாக ஒரு முன்-அனுமானத்தை (Presumption) அல்ல. அதற்கு நேர்மாறாக, ஒரு விழிப்புணர்வு – நேற்றைய அறியாமை இன்று அறிவாகச் சுடர்கிறது; இன்றைய அறியாமை நாளை எதிர்காலத்தில் அறிவுச்சுடராகலாம்.

அறிதலுக்கான விருப்பை துறப்பதற்கு எதிரான கலகமே இங்கு முக்கியமாக பேசப்படுகிறது: உலகினது முற்றுமுழுமையின் (comprehensibility) மீதான பிரகடனப்படுத்தப்பட்ட நம்பிக்கை, இன்னமும் அறிந்து கொள்ளாதவற்றை முடிவின்மை என்று கூறி, அறிதலை வேறொங்கோ வைத்து விட்டு, தமது சொந்த அறியாமையில் நிறைவுற்றிருப்போருக்கு எதிரான எதிர்த்தாக்குதல் அது.

நூற்றாண்டுகள் கடந்து விட்டன. சீராக்கின் ஞானம் முழு விவிவியத்துடன் கணக்கற்ற வீடுகளில் காணப்படுகிறது. ஆர்க்கிமீடிஸின் நூலோ மிகச் சிறிய எண்ணிக்கையிலேயே வாசிக்கப்பட்டது. ரோமப் பேரரசின் விரிவாக்கத்தில், மஹா கிரேக்கத்தின் பெருமைமிகு இறுதிச் சின்னமான சீராகுஸை (Syracuse) நகர் மீதான படையெடுப்பின் போது ஆர்க்கிமீடிஸ் கொல்லப்பட்டார். விரிவடைந்து சென்ற ரோமப் பேரரசு வெகுவிரைவில் தன்னுடைய அரச மதத்தின் அடிப்படை நூல்களுள் ஒன்றாக சீராக்கின் ஞானத்தை இழுத்துக் கொண்டு அடுத்த ஆயிரமாண்டுகளுக்கு நிலைத்திருக்கும்.

அந்தப் புத்தாயிரத்தில், ஆர்க்கிமீடிஸின் கணக்கீடுகள் விளங்கமுடியாமையால் சூழப்பட்டிருந்தது. அவற்றைப் புரிந்து கொள்ளவோ பயன்படுத்தவோ யாராலும் இயலவில்லை.

ஆர்க்கிமீடிஸின் சீராகுஸைக்கு அருகில் டவோர்மினா (Taormina) நகரின் மிக அழகிய அரங்கம் ஒன்று, கொந்தளிக்கும் எட்னா எரிமலையையும் மத்திய தரைக்கடலையும் நோக்கியவாறு அமைந்திருந்தது. சோஃபோக்ளீஸ் (Sophocles) மற்றும் யூரீபிடீஸின் நாடகங்கள் இங்கு அரங்கேற்றப்பட்டுள்ளது. ரோமானியர்கள் அதை, வீரர்கள் சண்டையிட்டு மடியும் வீர விளையாட்டுகளைக் கண்டு மகிழுமாறு மாற்றிக் கொண்டனர்.

மணல் கணக்கனின் செறிவான விளையாட்டுத்தனம் என்பது கடினமானதொரு கணித கட்டுமானத்தைப் பற்றியோ பழமையின் மிகச்சிறந்த மனம் ஒன்றின் மகத்தான திறனைப் பற்றியோ அல்ல. தனது சொந்த அறியாமையை ஏற்றுக் கொண்டு அதே சமயம் அறிதலுக்கான ஊற்றை வேறெங்கும் அடமானம் வைக்காத, தெளிவான சிந்தனைகளுக்கான கூக்குரல் அது. முடிவின்மைக்கும் தெளிவின்மைக்கும் எதிரான சிறிய, அடங்கிய, அறிவாற்றல் மிகுந்த ஒரு பிரகடனம் அது.

மணல் கணக்கனின் தேடலை முன்னெடுத்துச் செல்லும் பல வழிகளுள் ஒன்றே துளிம ஈர்ப்பியல். அண்டத்தை உருவாக்கியுள்ள வெளியின் பரல்களை எண்ணிக் கொண்டிருக்கிறோம். பரந்து விரிந்துள்ள, ஆனால் எல்லைக்குட்பட்ட அண்டம்.

இங்கு உண்மையில் முடிவற்றிருப்பது நமது அறியாமையே.

**************