ஒன்றிய அறிவுத் துறை

இன்று நாம் ஒவ்வொரு துறையையும் தனித்தனி பிரிவாகப் பார்க்கிறோம். ஒரு துறையினுள்ளே கூட வெவ்வேறு துறைகள் உள்ளன. இந்தியாவின் வேத கால மகரிஷிகள் எப்படிப் பார்த்தார்கள்? இயற்கை  உண்மைகளை, அதாவது இயற்பியலை, கணித ஒழுங்கு உள்ளார்ந்து அமைந்த ஒன்றாகப் பார்த்தார்கள். எடுத்துக்காட்டாக, ரிக் வேதம் 10.90 புருஷ சூக்தத்தில் கணிதமும், இயற்பியலும் எவ்வாறு சொல்லப்பட்டுள்ளன எனப் பார்ப்போம்.

Sahasraśīrṣā puruṣaḥ sahasrākṣaḥ sahasrapāt… atyatiṣṭhad daśāṅgulam”  

இதில் புவியியல் சார்ந்த அண்டவியலின் கணிதமும், இயற்பியலும் வந்துள்ளன. இந்த பூமி முழுதும் பரந்த பின்னரும், அந்த முடிவற்ற, எல்லையற்ற புருஷன் (ப்ரும்மன்) அதை 10 விரல்களால் கடந்து செல்கிறான். இது, எல்லைகள் காண முடியாத ஒன்றை ‘சகஸ்ர’ என்ற பதத்தால் குறிக்கிறது. அதைப் போலவே 10 என்பது பெரிது என்பதைக் குறிப்பது. அதே நேரம், ஒரு அசைவிலா புருஷன், பொருளாக, வெளியாக, காலமாக நிறைந்து நிற்பதையும் குறிக்கிறது. கணித ஒழுங்கில் அமைந்துள்ள இயற்பியலைக் கூறும் பல செய்யுள்கள் ரிக் வேதத்திலும், மற்ற பல வேதங்களிலும் காணக்கிடைக்கின்றன. தீர்க்கதமஸ் என்ற மகரிஷி, துல்லிய கணித விகிதங்களைக் கொண்டு, இயற்பியலின் பேசும்  பொருளான காலம், பூமியின் சுழற்சி, சூர்யனின் வட்டச் சுழற்சி ஆகியவற்றைச் சொல்லியிருக்கிறார். ‘சமகத்தி’ல் மற்றொரு அற்புதத்தைக் காணலாம். பொருளிற்கான வேண்டுதல்களுடன் ( நிலம், நீர், வேளாண்மை, ஆற்றல்) ஒற்றை மற்றும் இரட்டை எண்கள் மாறி மாறி வரும் வண்ணம் செய்யுள்கள் புனையப்பட்டிருக்கின்றன. அதாவது, கணித தொடர்முறையும், இயற்பியலும் ஒருங்கே சொல்லப்பட்டிருக்கின்றன. இதில் 1,3, 5 என்று 33 வரையும், நான்கின் மடங்குகளில் 4, 8, 12.. 44 வரையிலும் இடம்பெறுகின்றன. அதாவது, ஒழுங்கான, கணிக்கக்கூடிய கணித தொடர்முறைக்கு இணையாகவே உலகின் வாழ்வாதாரம் செல்லும். கணித ஒழுங்கு இயற்கையில் காணப்படுவது, அது கணித தூய்மைக்கும், தர்கத்திற்கும், விதிகளுக்கும் ஏற்ப இலங்குகிறது என்பதே.

இந்தக் கட்டுரையில் கணிதம் மற்றும் இயற்பியலைப் பற்றிய நவீன கருத்துக்களைப் பார்ப்போம்.

கணிதத்தை யார்கண்டுபிடித்தார்?

கணிதம் என்பது மனிதனின் கண்டுபிடிப்பா அல்லது அவன் வெளிக் கொணர்ந்ததா? கருந்துளைகளைப் பற்றிய கணிதச் சமன்பாடுகளுக்குப் பின்னர் கருந்துளைகள் உருவானதா என்ன? அவற்றின் கட்டுமானங்கள்/ அமைப்புகள் கண்டுபிடிப்புகளா அல்லது நாம் கணித- இயற்பியல் மூலம் அதைத் தெரிந்து கொள்ளும் அறிவா?

ஸெர்கியூ க்ளைனர்மென் (Sergiu Klainerman) என்ற அறிவியலாளர் திடமாகச் சொல்கிறார்: ‘கணிதம் மனிதனின் கண்டுபிடிப்பல்ல, அவன் அறிந்து கொள்ள விழைந்த துறை.’ இது கணித வல்லுனர்களிடையே சுவையான விவாதங்களுக்கு வழி வகுத்தது. ஒன்றை நினைத்துப் பார்ப்போம்- அமெரிக்கா என்றொரு நாடு கொலம்பஸின் கண்டுபிடிப்பால் உருவானதா அல்லது அங்கே வாழ்ந்த மனிதர்களை கொலம்பஸ் தான் புதிதாகக் கொண்டு சென்றாரா? முன்னரே இருப்பதை மனிதன் கண்டுபிடிக்க முடியாது; தேடி அறிய முடியும். அதன் பின்னே உள்ள கணிதத்தை அறிய முடியும். க்ளைனர்மென் சொல்கிறார்: “கருந்துளைகள் தனித்தனியே பறந்துவிடாது. முக்கோண அடித்தளத்தின் மீது அமைந்திருக்கும் கூம்பு வடிவமான நான்கு முகங்கொண்ட வடிவியல் அமைப்பு, கணிதக் கோட்பாடுகளைப் புரிந்து கொள்ள உதவும், ஆனால், அந்த வடிவமைப்பு மனிதனின் கண்டுபிடிப்பல்ல. அவை மனித சிந்தனையைச் சார்ந்து இல்லை; உண்மையை விளக்க நாம் கையாளும் மொழியல்ல கணிதம்; அது, உண்மையின் அடி மூலக் கூறு” என்பது க்ளைனர்மென் போன்றோரின் கட்சி. ‘இல்லை, இந்தக் கூற்றில் உண்மையில்லை, இவற்றை நாம்கண்டுபிடிக்காவிடில், அவற்றின் பொருள் தானென்ன’ என்பதில் மறு சாரார் உறுதியாக இருக்கின்றனர். இவர்களைப் பொறுத்தவரை, கணிதம் என்பது மனித உழைப்பின் விளை பொருள்.

ந்யூஜெர்சி, ப்ரின்ஸ்டன் பல்கலையில் கணிதப் பேராசிரியராக இருக்கும் க்ளைனர்மென், ‘கணித உண்மைகள் முன்னரே இருக்கின்றன, அதை வெளிக்கொணர்வதே நமது வேலை’ என்று சொல்கிறார். அவர் பல வியத்தகு நிரூபணங்களைத் தந்தவர்- வெளி (Space) நிலையானது; தன்னுள் விழும் எந்தப் பொருளையும் வெளிச்செல்ல முடியாமல் ஈர்ப்பில் வைத்திருக்கும் கருந்துளைகள், தூண்டப்பட்ட/ கலங்கிய நிலைகளிலும் சிதைந்து போவதில்லை. இதையும், இன்னும் பலவற்றையும் அவர் நிரூபித்தார்- இவற்றை மனிதர்கள் கண்டுபிடித்தார்கள் என்றோ, உருவாக்கினார்கள் என்றோ சொல்லக்கூடாது, அவற்றின் கணிதத்தை, அந்தக் கோட்பாடுகளை நாம் முயன்று வெளிக்கொண்டு வருகிறோம். கணிதம் ஏற்கெனவே உள்ளது, அதை நாம் அறிந்து கொள்ளத்தான் கோட்பாடுகள், பரிசோதனைகள் என்று செய்கிறோம். கணித உண்மைகளை வெளிக்கொண்டு வரும் கருவிகள் நம் கண்டுபிடிப்புகளே, ஆனால், ‘கணித உண்மைகளை’ நாம் கண்டுபிடிக்கவில்லை. கணிதம் என்பது என்ன, அது ஏன் செயல்படுகிறது என்பதைப் பற்றிய தெளிவான புரிதல் வேண்டுமென்றால், ‘இன்வென்ஷனையும்’, ‘டிஸ்கவரியையும்’ (Inventions & Discoveries) ஒன்றாக நினைத்து குழம்பக்கூடாது.

தனது இளமையிலேயே கணிதத்தின் பால் அவருக்கு ஈர்ப்பு இருந்தது. இப்போது 76வயதாகும் அவருக்கு கணிதம் சிறப்பாகப் புரிந்தது. இந்த ஈர்ப்பிற்கு அரசியல் காரணமும் இருந்தது என்றால் வியப்பாகவும் இருக்கிறது, நமது ‘நீட்’டும் நினைவிற்கு வருகிறது. கம்யூனிச அடக்குமுறை ஆட்சியில், ரோமானியாவில், அந்த சித்தாந்தம் ஊடுறுவாத துறை என்று 1969ல், புகரெஸ்ட் பல்கலையில் கணிதப் பிரிவை  அவர் தேர்ந்தெடுத்தார். பொது வாழ்க்கையில் அனைத்து இடங்களிலும் பரப்பப்பட்ட கம்யூனிச சித்தாந்த செய்திகள் இடம் பெறாமல், கணிதம் தூய்மையாக இருந்தது. உள்ளடங்கிய அழகும், உண்மையைத் தவிர வேறெதையும் ஏற்காத அதன் பண்பும், அவரைக் கணிதத்தில் சரண் புக வைத்தன. கணித சாம்ராஜ்யத்தில், (Nicolae Ceaușescu) நிக்கோலய் சௌசெஸ்குவின் அதிகாரம் செல்லுபடியாகாது. மிகச் சரியாக, தீவிரமாக நிறுவப்பட்ட கணித விதிகள் எக்காலத்திலும், எவருக்கும் பணியாது.

தனது கணித தத்துவத்தை எந்தவொரு கருத்தரங்கிலும் அவர் பெறவில்லை. அரசின் ஆதிக்கம் இல்லாத துறை என்று அவர் கணிதத்தை தேர்ந்தெடுத்தது, ஒரு நேரியல் செயலா என்று கேட்டால், அவரின் கணித ஆர்வமும், திறமையும், அதன் தூய்மையும் 

கூட அவருக்கு உதவின என்று சொல்லலாம். ஆனால், புகரெஸ்ட்டில் அவர் கண்ட சூழல், அரசின் சூழல்களைப் போலவும் இருந்தன.

அங்கே, மாணவர்களுக்கு கற்பித்தல் மட்டுமே நடந்தது; அவர்களை, ‘படியுங்கள், மேலும் படியுங்கள், படித்துக் கொண்டே இருங்கள்’ என்று போதித்தார்களே தவிர, கணிதத்தின் அடிப்படை உண்மைகளை அவர்கள் சொல்லவுமில்லை, அதற்கு மாணவர்களைத் தூண்டவுமில்லை. தகவல்கள், தரவுகள், அதை பகுப்பாய்வு செய்தல் போன்றவை இருந்தாலும், ‘மலையில் ஏறிக்கொண்டே இருங்கள், உச்சியில் உண்மையைக் காண்பீர்கள்’ என்றே சொன்னார்கள். ஆனால், யாரும் உச்சியை அடைந்ததாகத் தெரியவில்லை. ‘நமக்கு என்ன சொல்லிக் கொடுக்கிறார்கள், எது ஆர்வமூட்டும் கேள்வி’ என்பது என்னவோ புலப்படவேயில்லை.”

PDE

இந்த முறைசார் கல்வியில் வெறுப்படைந்த அவர், தன்னைவிட சில வயது மூத்தவரான, வளர்ந்துவரும் கணிதவியலாளரான, ஆட்டோ லீஸ் (Otto Liess) நடத்தி வந்த முறைசாரா குழுவில் இணைந்தார். அங்கே 

அவர்கள், வெளி, நேரம் போன்ற மாறுபாடுகள் சார்ந்த ‘பகுதிசார் மாறுபடும் சமன்பாடுகள்’ (partial differential equations (PDEs)) என்பதில் கவனம் செலுத்தினர்.  (PDE  என்றால் என்ன? அது ஒரு கணித சமன்பாடு.  பொருண்மைச் செயல்களான வெப்பம், திரவ ஓட்டம், ஒலி மற்றும் துளிம இயற்பியல் இதன் அடிப்படையில் அமைந்துள்ளது. பல மாறுபாடுகளுள்ள பொருண்மைக்கும், அதிலிருந்து பெறப்படும் பகுதிகளுக்குமிடையே நிலவும் தொடர்பைப்  பேசும் ஒன்று. ஓரளவிற்கு இதன் வரைமுறையைச் சொல்லியிருக்கிறேன் தமிழில்!) ஒரு திடப்பொருளில் பரவும் வெப்ப நிலை தொடங்கி, வெளியில், ஈர்ப்புப் புலங்களின் தொடக்கமும் வளர்ச்சியும் வரை அவர்கள் இந்தச் சமன்பாட்டில் கொண்டுவர முயன்றனர். இயற்பியலின் அடிப்படையே இந்த மொழியில் தான் அமைந்திருக்கிறது. பின்னர் அவர் ஆய்வு செய்த அதிர்வலைகள், வெளியின் நிலைத்தன்மை, கருந்துளைகள் இந்தச் சமன்பாட்டின் படி அமைந்தன. இந்தக் குழுவில் இடம்பெற்ற மாணவர்களின் ஆர்வத்தை அவர் பாராட்டினார்- ஆனால், அந்த விவாதங்கள் சுவையுடன் இருந்தாலும், அவை எதைக் காட்டுகின்றன, அதன் பொருள் தானென்ன என்ற கேள்விகள் அவரை உறுத்தின. வகுப்பறையில் அவருக்கு ஏற்பட்ட அதே ஏமாற்றம் இங்கும் இருந்தது. ஆயினும் அந்த அமர்வுகள் ஒரு தீர்மானத்திற்கு வர உதவின. தவிர்க்க முடியாதவாறு அவர் PDE பால் ஈர்க்கப்பட்டார். அவரது தொழில் வாழ்வில் அசாதாரணமான ஆழங்களுக்கும், விரிவுகளுக்கும் இது நல்ல அடித்தளமாக அமைந்தது.

ரோமானியாவில் அவரது வாழ்க்கையில் பல கட்டுப்பாடுகள். அவர் யூத மதத்தைச் சார்ந்தவர். கணிதத்தில் முனைவர் பட்ட ஆய்வு செய்வதற்கே, அவர் விரும்பாத கம்யூனிச கட்சியில் சேர வேண்டும்; அப்படியே சேர்ந்தாலும், அவர் பேராசிரியராக பணியாற்றுவது துர்லபம். புகழ்பெற்ற இருதய நோய் நிபுணரான அவரது தந்தையின் வளர்ச்சியும் முடக்கப்பட்டது. இந்தக் கடுமையான சூழ்நிலைகளும், வளர்ச்சிக்கு உத்திரவாதமில்லாத சித்தாந்தங்களும், அவரை அயல் நாட்டிற்குப் புலம் பெயர வைத்தன.

இளங்கலை படிப்பை முடித்து, மேல் வகுப்பில் ஓராண்டு புகரெஸ்ட்டில் படித்த வர், இஸ்ரேல் வழியாக, அமெரிக்காவில், ந்யூயார்க் பல்கலையில், புலம் பெயர்ந்த மாணவர்களின் அடைக்கலமாக இருந்த கூரன்ட் கணித அறிவியல் அமைப்பில் இணைந்தார். ஜெர்மனியிலிருந்து நாஜிக்களால் துரத்தப்பட்ட யூத கணிதவியலாளரான ரிச்சர்ட் கூரன்ட் என்பவர் 1935ல் துவக்கிய கணிதவியல் அமைப்பு அது. உலகின் சிறந்த கணித ஆராய்ச்சி நிறுவனமான அது, துரத்தப்பட்ட யூத கணித நிபுணர்களுக்கு, ஒரு இல்லமாகவும் திகழ்ந்தது. அங்கே க்ளைனர்மென் புதுப் பாதை கண்டார்.

கணிதம் என்பது மலையேறி உண்மையைக் காண்பதில்லை, அதன் உள்ளார்ந்த தர்க்கங்களும், அதன் தூண்டுதல்களும், அவற்றின் உள்ளிருந்தே உணரப்பட வேண்டியவை என்று அவரது பேராசிரியர்கள் சொன்ன போது க்ளைனர்மென் அடைந்த மகிழ்ச்சிக்கு எல்லையே இல்லை. அவரது முக்கியத் துறையான PDE, பொருண்மை உலகத்துடன் நல்ல நெருக்கத்தில் இருந்ததை அவரால் அறிய முடிந்தது. வெப்ப இயக்கவியல் விதிகள், மின்காந்தம், துளிம இயற்பியல், ஈர்ப்பு விசை அனைத்தும் இந்த சமன்பாடுகளால் விளக்கப் பட்டது.

கணிதம் செல்லாத இடம் உண்டா?

‘இயற்கையான அறிவியலில் காணப்படும் ஆச்சர்யமிக்க கணிதத்தின் தாக்கம்’ (1960) என்ற, யூஜின் விக்னர் (Eugene Wigner) எழுதிய நோபல் பரிசு பெற்ற கட்டுரையை படித்த க்ளைனர்மென் அந்த அற்புதமான செய்தியால் கவரப்பட்டு வாழ் நாள் முழுதும் அதைப் பயன்படுத்தினார். தொடர்பற்ற துறைகளிலும், அழைக்கப்படாத தத்துவமாக வியக்கத்தக்க வகையில் கணிதக் கோட்பாடுகள் இடம் பெறுவதை யூஜின் குறிப்பிட்டிருந்தார். இதை விளக்குவதற்கு விக்னர் ஒரு உதாரணத்தைச் சொன்னார் “இரு பள்ளி நண்பர்கள், தங்களது தொழில் வாழ்வில் சந்தித்து பேசிக்கொண்டார்கள். புள்ளியியல் நிபுணரான ஒருவர், மக்கள் தொகை அடர்த்தியில் பயனாகும் ஒன்று எவ்வண்ணம் ‘பை’ என்ற கணிதக் கோட்பாட்டை ஒட்டி அமைந்திருக்கிறது என்று சொனார். ‘பை’ என்பது ஒரு வட்டத்தின் சுற்றளவிற்கும், அதன் விட்டத்திற்கும் இருக்கும் விகிதத்தை காட்டும் ஒன்று.

மற்ற நண்பர் வியப்புடன் கேட்டார்: “ஐயா, ‘பை’க்கும், மக்கள் தொகைக்கும் என்ன தொடர்பு?” ஆனால், அந்தத் தொடர்பு இருக்கிறது. கணிதக் கோட்பாடுகள், சில குறிப்பிட்ட வகைகளை விளக்க எழுந்தாலும், வியத்தகு வகையில் எதிர்பாராத இடங்களில் அவை வெளிப்படுவதை என்னவென்று சொல்ல? அந்த விதி முறைகள் உலகளாவிய விதத்தில் வெளிப்பட்டு நம்மை வியப்பில் ஆழ்த்துகின்றன.

இந்தக் கட்டுரை க்ளைனர்மெனுக்கு புதிய உற்சாகமும், உத்வேகமும் தந்தது. அவர் உணர்ந்த ஒன்றிற்கு இது தத்துவ வடிவம் தந்தது. கணிதமும், இயற்பியலும் வெறும் அண்டைவீட்டுக்காரரில்லை, அவர்கள் பிரிக்க முடியாமல் பிணைந்திருக்கிறார்கள். அவரது அடுத்த 50 வருடங்கள், இந்த பந்தத்தைப் பற்றி, கணிதம், உலகில் எப்படி அனைத்தையும், யாரும் காணாத வகையில் அறிய உதவுகிறது என்பதைப் பற்றி இருந்தது.

பொது சார்பியல் கோட்பாடும், அதன் நுட்பமும்

பொது சார்புக் கோட்பாட்டின் சிக்கல்கள், அவற்றின் நுட்பத் தன்மையாலேயே விவரிக்க கடினமாக இருக்கின்றன. தனது முனைவர் பட்டத்திற்காக அவர் அதிர்வலைகளில் ஆய்வு மேற்கொண்டார். உயர் பரிமாணங்களில் அவை எவ்விதம் அமைகின்றன, எந்தச் சூழல்களில் அவை அவ்விதம் அமைவதில்லை என்பது பற்றி ஆராய்ந்தார். 1978 ல் முது முனைவர் பட்டத்திற்காக அவர் பெர்க்லியிலுள்ள கலிபோர்னியா பல்கலையில் இருந்தபோது, ஸ்டான்போர்ட்டில், ஒரு கலந்துரையாடலில் கணிதவியலாளரான (Shing-Tung Yau) ஷிங் டங் யாவ் என்பவரை சந்தித்தார். 1915ல் ஐன்ஸ்டெய்ன் சொன்ன பொதுசார்புக் கொள்கையின் தீர்க்க இயலாத ஒரு கேள்விக்கும், க்ளைனர்மென் தந்திருந்த ஆய்வுக்கட்டுரைக்கும் பொருத்தம் இருப்பதாக யாவ் சொன்னார். ஒன்றுடன் ஒன்று தொடர்புள்ள 10 PDEக்கள், ஒரு சிறு வாக்கியத்தில் சொல்லப்பட்டாலும்,  உலகிலிருக்கும் பொருளும்-ஆற்றலும் , வெளியையும், நேரத்தையும் எவ்வாறு வளைக்கின்றன என்பதையும், அல்லது வெளி- நேரத்தின் வளைவானது பொருளின் இயக்கத்திற்கு எவ்வாறு காரணமாகிறது என்பதையும் உங்கள் PDEக்கள் கொண்டு நீங்கள் விளக்க முடியுமென்றும் அவர் சொன்னார். பொது சார்பியல் கொள்கையின் அடிப்படியே வெளியும், நேரமும் தனித்தனியே பார்க்கப்பட வேண்டிய ஒன்றல்ல, மாறாக ‘காலவெளி’ என்று பார்க்கப்பட வேண்டும். எடைமிகுந்த பொருட்களின் இடையே உள்ள ஈர்ப்பை, ஈர்ப்புவிசை என்று சொல்லவில்லை ஐன்ஸ்டெய்ன்; மாறாக ஈர்ப்பு விசை என்பது, வளைந்திருக்கும் காலவெளியினால் உண்டாகும் ஒரு விளைவாற்றல் ஆகும்.

யாவ் சொன்னவற்றால் ஊக்கமடைந்த க்ளைனர்மென், பொதுச் சார்பியல் கோட்பாட்டைப் பற்றிய பல நூல்களைப் படித்தார். அந்தக் கோட்பாடின் அழகும், அது அமைந்துள்ள கணித மொழியும் அவரை கிட்டத்தட்ட கொள்ளை கொண்டன., பொது சார்பியல் கோட்பாட்டில் ஒரு அருமை காணக் கிடைக்கிறது என்று அவர் சொன்னார் 

முன்னர் ஐன்ஸ்டெய்ன் சொன்னதுதான் “நுட்பம் தான் தலைவன்; ஆனால் தீங்கிழைக்காதவன்.”  க்ளைனர்மென்  விளக்கினார்: ‘நுட்பமாக இருப்பதாலேயே பொது சார்பியல் சிக்கல்கள் கடினமாக இருக்கின்றன; ஆனால், முழுவதும் பிடிவாதம் பிடிப்பவையல்ல. அருமையான போற்றத்தகுந்த இந்தக் கோட்பாட்டில் இது உள்ளது; அதை நீங்கள் கண்டறிந்தால், கடினங்களை எதிர் கொள்ள முடியும்.’

மிங்கோவ்ஸ்கி வெளி

இதன் தொடர்பாக க்ளைனர்மென் எடுத்துக் கொண்ட சிக்கல், கணிதவியலாளர்கள் சொல்லும் மிங்கோவ்ஸ்கியின் வெளி. அது எந்த வெளி? தட்டையான, பொருட்களற்ற, ஆற்றலுமில்லாத ஒரு வெளியைக் கற்பனை செய்து கொள்ளுங்கள். பொது சார்பியல் தத்துவத்தின்படி, பொருளும், ஆற்றலும் கால வெளியை வளைக்கின்றன. மிங்கோவ்ஸ்கியின் வெளியில் இரண்டும் இல்லை என்பதால், அது ஒரு அருமையான அடித்தளத்தைத் தந்து பிற அளவீடுகளுக்கு உதவுகிறது. ஆனால்… அது நிலைத்த ஒன்றா? மிகச் சிறிதான ஒரு இடையூறு அல்லது  ஏதோ ஒரு தவறிய ஈர்ப்பு அலை அல்லது ஏதோ ஒரு தவறான துகள் அருகில் கடந்து சொல்லும் போது மிங்கோவ்ஸ்கியின் வெளி மீண்டும் தனது தட்டை நிலையை அடையுமா அல்லது அந்த இடையூறுகளினால், விபரீத விளைவுகள், கருந்துளை போன்றவை உண்டாகுமா? க்ளைனர்மென் சொல்கிறார்; ‘இந்த நிகழ்தகவுள்ள எளிமையான ஒன்றில் காலவெளி நிலையாக இருக்கும் என்று நம்மால் நிரூபிக்க முடியாமல் போனால், நாம் பொது சார்பியல் தத்துவத்தின் பல உண்மைகளை அறிய முடியாதவர்களாவோம்.’ இந்த மிங்கோவ்ஸ்கி வெளியை அவர் பல்லாண்டுகளாக தனியே ஆய்வு செய்தார். இவரைப் போலவே, கிரேக்க கணிதவியலாளரும், இயற்பியல் அறிஞருமான டிமீட்ரியஸ் க்ரிஸ்டோடுலோ (Demetrios Christodoulou) இதே கேள்வியைத் தனியே ஆய்வு செய்து வந்தார். கூரன்ட்டில், (Courant,) க்ளைனர்மென் இணை பேராசிரியராகப் பணியாற்றி வந்தார். 1984ல் இருவரும் இணைந்து செயல்படத் துவங்கினார்கள். ஆறு ஆண்டுகளுக்கும் மேலாக, 500 பக்கங்களுக்கும் மேலாக அவர்கள் ஆராய்ச்சி வளர்ந்து வந்தது. மிங்கோவ்ஸ்கி வெளி நிலையாக இருப்பதை நிரூபித்தார்கள். 1994ல் அது நூலாகவும் வெளி வந்தது.

சில இடையூறுகள் ஏற்பட்டாலும், கருந்துளைகள் நிலையாக இருக்கின்றன என்பதை உறுதி செய்தனர். இது ஒரு மைல்கல் என்றாலும், இது ஒரு முன்னோட்டம் மட்டுமே. இயற்பியலாளர்களும், கணிதவியலாளர்களும், கருந்துளைகள் நிலையாக இருக்கின்றனவா என்ற வினாக்களை எழுப்பிக் கொண்டேயிருந்தனர். ஏனெனில் மிங்கோவ்ஸ்கி வெளியில் பொருட்கள், ஆற்றல், காலவெளி வளைதல் எதுவுமில்லை. ஆனால், கருந்துளைகள் இருக்கும் வெளி மிகுந்த சிக்கல் கொண்ட ஒன்று. அத்தகைய கருந்துளைகளின் மையத்தில் வளைதலும், அடர்த்தியும் எல்லையற்று இருக்கின்றன. பொருட்படுத்த தக்க வகையில் இதைச் சொல்வதற்கு முன்னால், தட்டையான, காலியான வெளி நிலைத்திருக்கும் என்பதை நிரூபிக்க வேண்டியிருந்தது.

கருந்துளையிலும் நிரூபணம்

அதுவும் நடந்தது, ஆனால், கால் நூற்றாண்டுகளுக்குப் பின்னால்.  கருந்துளை என்பது ஒரு நட்சத்திரம் மீள முடியாமல் தன் இறுதியைச் சந்திக்கையில், அது ஏற்படுத்தும் காலவெளியை அதிக்கடினமாக ஈர்ப்பு விசை சூழ்கையில், அதன் எல்லையென சொல்லப்படும் நிகழ் தொடுவானத்தைத்  (event horizon) தாண்டி கதிரொளி கூட செல்லாத ஒரு நிலை. 2018 வரை எளிமையான கருந்துளை சார்ந்த கணித வடிவமைப்பை யாரும் செய்திருக்கவில்லை. ஷ்வார்ஸ்சில்ட் என்ற வகையில் சொல்லப்படும் மிகச் சரியான உருளை வடிவமும், நிலைத்தன்மையும் உள்ள கருந்துளையை மாதிரியாகக் கொண்டு, ஜெரிமி செஃப்டெல் (Jérémie Szeftel) என்ற ஃப்ரெஞ்ச் கணிதவியலாளரும், நம் கதா நாயகரும்  இணைந்து முழுக் கணித மாதிரியை வடிவமைத்து, சில இடையூறுகள் கருந்துளைகளின் நிலைத்தன்மையை மாற்றவில்லை என்று நிறுவினார்கள்.  இது மிகவும் முக்கியமான ஒன்று. அவர்கள் அடிப்படையாகக் கொண்ட மிகச்சரியான உருளை வடிவமும், சரியான நிலைத்தலும், இந்தக் கணிதத்தை புரிந்து கொள்ளத் தடைகளாக இல்லை.  கருந்துளைகள், ஐன்ஸ்டெய்ன்னின் சமன்பாடுகள் புத்தகத்தில் பயிலப்படுகையில் ஒரு தீர்வாக இருக்கலாம், ஆயினும், சில இடையூறுகளால் அழிபடும் ஒரு பருப்பொருளாக அவையானால், சமன்பாடுகள் பொய்த்துப் போகின்றன. 

கெர் கருந்துளை

(Klainerman, Szeftel,Elena Giorgi) க்ளைனர்மென்,ஜெரிமி செஃப்டெல் மற்றும் எலினா ஜ்யோர்ஜி (கொலம்பியா பல்கலையில் கணித ஆசிரியர்) மூவரும் இணைந்து, கெர் கருந்துளைகள் என்ற மெதுவாகச் சுழலும் கருந்துளைகளின் நிலைத்தன்மையை நிரூபித்தனர். உலகில் அனைத்தும் சுழல்கின்றது என்பதை நாம் கணக்கில் கொள்ள வேண்டும். இது மிக முக்கியமான தொடர் நிரூபணம்.  இந்த கெர் கருந்துளையின் நிலைத்தன்மை ஒரு முக்கியமான நிரூபணமாகும் என்று அவர் சொன்னார். ஒருக்கால், அது ஸ்திரமாக இல்லையென்றால், கவனிக்கக்கூடிய பொருளாக இருக்க வாய்ப்பில்லை; கணிதப் பேயுருவாக மட்டும் இருக்கும். இவரும், அவரது இரண்டு சக ஆய்வளர்களும் கருந்துளைகளை கண்டிபிடிக்கவில்லை. வானியல் வல்லுனர்கள் கருந்துளைகள் உள்ளன என்பதை ஐயமற முன்னரே கண்டறிந்திருந்தனர். இந்த அகில உருவாக்கத்தில் கருந்துளைகள், ஒரு முதன்மையான பங்கினை வகிக்கின்றன என்பதை இவர்கள் சொன்னார்கள்.

சிந்தனை செய் மனமே

கோவிட்-19 ன் ஆரம்ப காலகட்டத்தில் கெர் கருந்துளைகள் பற்றிய ஆய்வு வெளி வந்தது. மன்ஹாட்டனில் மாட்டிக் கொண்டார் நம் நாயகன். அவர் மனைவியும், மகளும் 3000 மைல் தொலைவில் கலிபோர்னியாவில்; மற்றொரு மகள் 1500 மைல் தொலைவில் டல்லாஸில். இவருக்கு அதிக நேரம் கிடைத்தது. 50 வருடங்களுக்கு முன்னர் அவரை ஈர்த்த விக்னரின் கட்டுரை, அவருள் முளைவிட்டுக் கொண்டேயிருந்த ஒரு சிந்தனை ‘Reflections on an Essay by Wigner’ (2022) என்று உருவாகி வெளியானது.

இவருக்கும், க்ரிஸ்டோடுலாவிற்கும்   ‘மிங்கோவ்ஸ்கி வெளி’யின் ஆய்வுக்காலத்தில் தொடங்கிய  அந்த இனிய நட்பு தொடர்ந்தது. ந்யூயார்க் நகரிலும், பிரின்ஸ்டனிலும் அவர்கள் நடையாக நடந்து கொண்டே, இயற்பியலிற்கும், கணிதத்திற்குமிடையே உள்ள இணைப்பை, அதன் தத்துவத்தை, பல்வேறு உலகங்கள் உள்ளன என்று சில இயற்பியலாளர்கள் சொல்வதை விவாதித்தனர். க்ரிஸ்டோடுலாவுடனான உரையாடல்கள் அவருக்கு விக்னர் பற்றிய தன் எண்ணங்களைத் தொகுக்க, புரிந்து கொள்ள உதவின. தான் இளங்கலை மாணவராக இருந்தபோது படித்த விக்னரின் அந்தக் கட்டுரை, ‘ஏன் கணிதம் அனைத்திலும் இருக்கிறது, அது எப்படி எதிர்பாராத இடங்களிலெல்லாம் தன் இருப்பைக் காட்டுகிறது’ என்ற சிந்தனை இவருக்கு மேலும் வலுத்தது. கணித கோட்பாடுகள், இயற்பியல் உண்மைகள், ஒரு கீற்றுப் போல வந்து இடம் கொள்ளும் சிந்தனைகள் இவை அனைத்தும் ஒன்றாய்ப் பிணைந்து விந்தையும், மர்மமும், தீர்க்கவேண்டும் என்ற முயற்சியுமாக மேலும் ஆழத்தை ஏற்படுத்துகின்றன.

The Poincaré conjecture

இந்த நூற்றாண்டின் சிறந்த கணித சாதனையை அவர் மேற்கோளாக காட்டுகிறார். இவரைப் பொறுத்தவரை இந்தக் கண்டுபிடிப்பு, விக்னர் எழுப்பிய அந்த மர்மத்தை அருமையாகக் கையாள்கிறது. ஒரு சிக்கலுக்காக உருவாக்கப்பட்ட ஒன்று, 180 ஆண்டுகளுக்குப் பின்னர், உருவாக்கியவரே அறிந்திராத ஒரு சிக்கலுக்கு தீர்வு சொல்லிற்று என்றால்.. வியப்பின் உச்சம் அல்லவா அது? 2002, 2003ல் ரஷ்ய  கணிதவியலாளரான Grigori Perelman என்பவர் வெளியிட்ட கோளத்தின் அடிப்படை வடிவியல் மிகச் சிறந்த விதத்தில் விக்னரின் வியப்புடனும், கேள்வியுடனும் ஒத்துப்  போயிற்று. அதுதான் The Poincaré conjecture. வடிவியலும், கணிதத்தின் ஒரு அங்கம். அது கோணங்கள், மற்றும் இரு புள்ளிகளுக்கிடையே உள்ள தூரம் என்பதைப் பற்றி பேசுவதில்லை. மாறாக, அதன் அடிப்படையான வடிவமைப்பு அதன் நோக்கம்- அதில் துளைகள் எவ்வளவு உள்ளன, அதை கிழிக்காமலும், பிரிக்காமலும் நம்மால் அதை வேறு ஒரு வடிவத்திற்கு மாற்ற முடியுமா என்று சிந்திக்கும் துறை இடவியல். கோளம் அல்லது உருளை  அல்லது வட்டம் என்பது இதில் பக்காவான ஒன்றாக இருக்க அவசியமில்லை. சீர்குலைந்த வடிவுடனும், குழிவுகள் நிறைந்துள்ள நிலையிலும் இருக்கும் ஒரு நூல்கண்டு கூட இதில் ‘மாதிரி’யாக இருக்கலாம். நாம் சப்பாத்திக்கு மாவு பிசைவதை நினைத்துப் பார்ப்போம். இதில் குழிகளில்லை. இதை தொடர்ந்து பிசைந்து ஒரு கோளமாக்கி விடுகிறாம். அதிலிருந்து சிறு பகுதி எடுத்து உருட்டி வட்ட வடிவ தட்டையாக்கி விடுகிறாம் அல்லவா? பரப்பில் இருக்கும் ஒழுங்கீனமல்ல, வடிவம் அவ்வாறே இருப்பது பற்றித்தான் வடிவியல் பேசுகிறது.

ரிக்கி ஓட்டம்

1904ல் ஃப்ரெஞ்ச் கணித நிபுணர் Henri Poincaré எளிதெனத் தோன்றும் ஒரு கேள்வியை கேட்டார். இந்தக் கேள்விக்கான விடை கிட்டத்தட்ட நூறாண்டுகளுக்குப் பின்னரே கிடைத்தது. எளிதாக இணைந்துள்ள, மூடிய  முப்பரிமாணப் பொருள், அடிப்படையில் ஒரு கோளமா என்பதே கேள்வி. ‘மூடிய’ என்றால் என்ன அர்த்தம்? கச்சிதமான, வரையறுக்கப்பட்ட எல்லை கொண்ட ஒன்று. உதாரணம்- பந்து. ‘எளிதாக’ என்றால், ஒரு ரப்பர் பேண்ட்டை எடுத்துக்கொள்ளுங்கள். அதை ஒரு குறிப்பிட்ட எல்லை வரை நீங்கள் சுருக்கிக்கொண்டே போகலாம். அதாவது அந்த வளையத் தன்மையை அறியலாம். இதுவே நடுவில் துளையுள்ள வட்ட வடிவப் பொருளில் செய்வது இயலாது. தினசரி நாம் காணும் இரு பரிமாணப் பொருட்களில் இதை உணர்வது எளிது. ஒரு தட்டையான காகிதத்தில் நீங்கள் ஒரு ரப்பர் பேண்டை சுருக்கிக் கொண்டே அது அழிவுபடாத நிலையில் பார்த்தீர்கள் என்றால், அது எதையும் கவ்விப்பிடிப்பதில்லை. ஆனால்,  நாற்பரிமாண வெளியில் முப்பரிமாண பரப்பில்?  இதுதான் 100 ஆண்டுகள் விடைக்காகக் காத்திருந்த கேள்வி. அப்படியாகச் சுருக்கப்படும் ஒவ்வொரு ரப்பர் பேண்டுமே ஒரு உருளையாக இருக்க வேண்டும்.

பெரல்மேன் கையாளும் வரை இதுதான் நிலை. அவர், அமெரிக்க கணித நிபுணரான ரிச்சர்ட் ஹாமில்டன் சொன்ன Ricci flow என்ற நுட்பத்தைக் கையாண்டார். அது எவ்வகை நுட்பம்? மிக மோசமாக உருக்குலைவு ஏற்பட்டுள்ள ஒரு பொருளின் வளைவுகளை படிப்படியாக, தொடர்ச்சியாக நீங்கள் நீவுகிறிர்கள். என்ன நடக்கும்? அதன் வளைவுகள், கசங்கல்கள் நீங்கி அதன் அடிப்படை உரு என்ன என்று தெரியும். உஷ்ணம் ஒரு திடப் பொருளில் பரவுவது எப்படியோ, அதே கோட்பாடுதான். வெப்பம், உஷ்ணப் பகுதிகளில் பரவுகையில் அவ்வளவாக உஷ்ணமற்ற பகுதிகளில், சமமற்றுத் தொடங்கி மெது மெதுவே உஷ்ணத்தைச் சமமாக அந்த திடப் பொருள் முழுதும் பரவவிடுவது நாம் தினந்தோறும் அறியும் ஒன்றுதானே?  துணிகளை ‘அயர்ன்’ செய்வதை நினைத்துப் பாருங்கள். ரிச்சி ஃப்ளோ என்பது புவியியல் பொருட்களில் காணப்படும் முண்டு முடிச்சுக்களை நீவி, அதன் இயல்பான உருவைக் கண்டடைதல் எனச் சொல்லப்படுகிறது. முப்பரிமாணமுள்ள  சொரசொரப்பான, உருக்குலைந்த ஒரு கோளத்தில் இந்த நுட்பத்தைப் பயன்படுத்தி அதை நீவி, அது அடிப்படையில் ஒரு கோளமே என்பதை பெரல்மேன் நிறுவினார்.

இது சரியானதுதான், ஆனால், ஏன்? இந்தக் கேள்வி க்ளைனர்மேனை மிகவும் தொந்தரவு செய்தது. அந்தக் கேள்விக்கான விடைக்கு சில நூற்றாண்டுகள் பின் செல்ல வேண்டும். 1820ல் ஃப்ரெஞ்ச் இயற்பியலாரும் கணித வியலாளருமான ஜோசப் ஃபோரியர், ஒரு விளக்கம் தந்திருந்தார்.  எப்படி, பொருட்களில் உஷ்ணம் படிப்படியாக பரவி, அந்த பொருள் முழுதிலும் சமமான வெப்ப நிலை நிலவுகிறது என்பதற்கான வழிமுறையை வெளியிட்டார். வடிவியல்  துறை அல்லது சிந்தனை என்ற ஒன்று  இல்லாத கால கட்டத்தில் அவர் இவ்வாறு சிந்தித்திருக்கிறார்! இரு நூற்றாண்டுகள் கழித்து இந்தக் கோட்பாடுதான், தூய கணிதத்தில், பல காலங்களாக இருந்து வந்த பாயின்கேர் அனுமானம் என்ற கடினமான சிக்கலிற்கான விடையாக அமைந்தது. ஆமாம், உலகில் நிகழும் வெப்பக்கடத்தலுக்கும் , பாயின்கேர் அனுமானத்திற்கும் என்ன தொடர்பு, அது எப்படி இதை விளக்குகிறது என்ற கேள்வி எழுவதும் நியாயமே. இதை, வெப்பம் மற்றும் அது நீவுவதின் மூலம், ஒரு உருளை தன் முன் நிலையை அடைகிறது என்பதுடன் எப்படி இணைத்துக் கொள்வது? அடிப்படைக் கணிதமான ‘விரவுதல்’ தான் இரண்டிலும் மையம். ஒரு துறையில் கண்டறியப்பட்டது மற்றோர் துறையில் செயல்பட்டு அதன் மீது வெளிச்சம் பாய்ச்சுகிறது.

இதுதான் இவருக்கு, விக்னரின் மர்மம் மற்றும் வியப்பிற்கான உறுதியான ஆதாரம். இது ஒரு தத்துவப் புதிரோ அல்லது சுருக்கமாக ஒன்றைச் சொல்வதோ அல்ல. இது கணிதம் எவ்விதம் செயல்படுகிறதென்பதையும், எப்படி அது நிலைத்து, பல்வேறு துறைகளிலும் தன் கதிரொளியைப் பாய்ச்சுகிறது என்பதையும் பேசுகிறது. மயக்கும் இப்புதிர் விளக்க முடியாத ஒன்றல்ல என்று அவர் திண்ணமாக நம்பினார். கணிதமும், இயற்பியலும் ஒன்றாகத் தோன்றியவை. ஒன்று மற்றொன்றிலிருந்து கருத்துக்களைப் பெற்றுக் கொண்டு, முன்னேறி, அதன் முடிவுகளை/ வழிமுறைகளை மற்றொன்றிற்குத் தருகிறது. சுமார் 60 ஆண்டுகளுக்கு முன்னர் ஜெர்மனிய கணித நிபுணர் பென்கார்ட் ரீமென் (Bernhard Riemann ) வெளியிட்ட புவியியல் கருத்துக்களின் துணையின்றி, ஐன்ஸ்டெய்னிலால் தன் பொதுச்சார்பு கோட்பாட்டை சொல்லியிருக்க முடியாது. பென்கார்ட் ரீமென் சொன்ன புவியியல் மொழிதான், ‘ஈர்ப்பு விசை’யைப் பற்றி தெளிவாக அறியும் மொழி.

கருத்து	ரிக்கி ஓட்டம்	ஐன்ஸ்டெய்ன் சமன்பாடுகள்
குறிக்கோள்	புவியியல் சீர்மை	புவியியலை பொருளுடன் இணைத்தல்
உருவடைதல்	கால அளவுரு	காலவெளி
அடிப்படை	ரிக்கி வளைவு	ரிக்கி வளைவு + பொருள்

ஒரு இயற்பியல் கோட்பாடென்பது, பரிசோதனைகளால் நிறுவப்பட்ட கணிதக் கோட்பாடே. இந்தக் கோணத்திலிருந்து பார்க்கையில் இரண்டும் சொந்தக்காரர்கள் மட்டுமல்ல, இரண்டும் வெவ்வேறு துவக்கத்திலிருந்து எழுந்தாலும், அவை தடுக்க முடியாத வண்ணம் பிணைகின்றன. கணித உண்மைகள் மற்றும் இயற்பியல் உண்மைகளுக்கும் இடையே நிலவுவதாக நாம் நினைக்கும் சில இடைவெளிகள்தான் விக்னரை குழப்பத்தில் ஆழ்த்தியிருக்கக்கூடும். இந்தக் குழப்பம் தான் மெய்யியலாளர்களுக்கும் ஏற்பட்டது என்று க்ளைனர்மென் சொல்கிறார். 

ப்ளாடோ

நம்முடைய உணர்வினால்  அறியும்  உண்மைத்தன்மையைவிட கணிதம் சொல்லும் அப்பொருளின் உண்மை நிலை மேலானது என்று ப்ளாடோ சொன்னதை இவர் மேற்கோள் காட்டுகிறார். ஒரு காகிதத் தில் நீங்கள் கையாலோ அல்லது வரைமானி கொண்டோ வரைவது ஒரு வட்டத்தின் அனுமானத் தோற்றம், அது நிஜ வட்ட உருவத்திற்கான ஈடு இல்லை ;அதைப் போன்றது ஆனால், அதுவே அல்ல என்றார் ப்ளாடோ. ஒரு வட்டத்தைக் காட்ட முற்படும் ஒரு அனுமானம் அது; நிஜமான வட்டம் நீங்கள் வரைந்து காட்ட முயல்வதைச் சார்ந்து இல்லை, அது உண்மைத்தன்மையுடனான இயல்பில் இருக்கும் ஒரு வட்டம். நீங்கள் பிரதிபலித்து, அனுமானித்து அதைக் காட்ட முயலலாம். வரையப்பட்ட வட்டம் தன் குறைகளுடன் நிலையற்ற தன்மையையும் கொண்டுள்ள ஒன்று. இருக்கும் புள்ளிகள் அனைத்தும், ஒரு மையத்திலிருந்து சம தூரத்தில் இருக்கும் தன்மையுடைய மிகச் சரியான ஒன்று கணிதம் போடும் வட்டம்.

விஞ்ஞான வரலாற்றில் இதை அப்படியே ஏற்றுக் கொள்ள அவசியமில்லை. கணிதப் பொருட்களின் இறுதி உண்மையைப் பொறுத்த வரையில் நீங்கள் கடவுளை முழுமையாக நம்பாதவராகக் கூட இருக்கலாம். ஆனால், பார்க்கக்கூடிய, கணிக் கக்கூடிய கிரகங்கள், ஊசல்கள், மின் காந்தப் புலம்கள் ஆகியவற்றை பற்றிய அருமையான அறிவியலை அனுபவிக்க, ஆய்வு செய்ய முடியும். உங்கள் சமன்பாடுகளை உலகோடு ஒப்பிடுங்கள்; நீங்கள் எப்போதும் பார்க்கும் சில பொருட்களின் கணித அமைப்பு உங்களுக்குத் தென்படும்.

இன்றைய நிலை

இருந்தும் இன்றைய நிலவரத்தில் இவை அதிகம் இடம் பெறவில்லை. கோட்பாடு இயற்பியல் இன்று வந்துள்ள தொலைவு அத்தகையதாக இருக்கிறது. அன்றாட சாதாரண அனுபவங்களில் நாம் காணும்  அந்தக் கணித அமைப்பு, இப்போது, கோட்பாடு ரீதியாகவும், பரிசோதனை செய்து பார்ப்பதற்கும் கடினமாக உள்ளது. துளிம இயற்பியலில் நாம் பேசும் குவார்க்குகள், ப்ரோடான், ந்யூட்ரான் என்று இணைந்து வருகிறது; தனியே அல்ல. நூற்சரங்களின் கோட்பாட்டில் சொல்லப்படும் சரங்கள், ப்ரோடானை விட100 பில்லியன் பில்லியன் மடங்கு சிறிதானவை என்றால், நாம் சாதாரணமாக அதைக் காண முடியுமா? சொர்க்கத்தில் இருப்பதாக இப்போது கருதப்படும் கருந்துளைகள், அழிந்த விண்மீனின் எச்சங்கள், இன்றும், அவற்றின் உள்ளிருந்து ஒளியால் கூட தகவலைப் பெற முடியாதிருப்பதும், தன்னை அவை முற்றிலும் ஒரு மர்மமாகக் காட்டிக் கொள்வதும் பற்றி என்ன சொல்ல?

பை

கணிதக் கோட்பாடான ‘பை’ இயற்கையில் உள்ளது. அது மனிதன் உற்பத்தி செய்ததல்ல. ஆனால், அதன் கணித விளக்கங்கள் அவன் மூலம் வருகின்றன. அதன் வகுத்தலும், அந்தக் கணக்கீடுகளும் நாம் அறிந்து கொண்டவை, ஏற்படுத்தியவை அல்ல. கணக்கீடுகள் அதை விளக்குகின்றன. அவைகளை அவற்றின் இயல்பான கணிதக் கட்டமைப்பிலே புரிந்து கொள்ளலாம், இந்தச் சிந்தனையில் ப்ளாடோவின் மெய்யியல் ஆர்வத்தைக் காட்டிலும், அவரது உள்ளுணர்வின் வீச்சு தெரிகிறது. இவர்களைப் போன்றவர்களுக்கு கணிதத்தின் தொடர் உறுதி நிலையே உண்மையக் காட்ட வல்லது. அதுவும் பல துறை சார்ந்த ஒன்றின் மூலமாக தொடர் உறுதி நிலையை நிர்ணயிப்பதை விட அவர்கள் கணித தொடர் உறுதி நிலைக்கு முக்கியத்துவம் அளித்தார்கள். தர்க்கத்தின் மூலம் நிலை நிறுத்தப்படும் கணிதப் பொருட்கள், (நம்முடைய உணர்புலன்கள் மாய மயக்கத்தை ஏற்படுத்தினாலும்) பிழையாவதில்லை.

துரோணரும் அர்ச்சுனனும்

விக்னரின் கட்டுரையால் பல ஆண்டுகள் வசீகரிக்கப்பட்டிருந்தாலும், க்ளைனர்மென், விக்னர் சொல்லும் கணித வரையறையை ஏற்றுக் கொள்ளவில்லை. விக்னர் சொன்னார் :”கணிதம் என்பது திறன்மிகு செயல்பாட்டு அறிவியல்; கருதுகோளும், விதியும் இதற்கெனவே கண்டுபிடிக்கப்பட்டன.” இந்தக் ‘கண்டுபிடிப்பு’ என்பதில் நம் நாயகருக்கு உடன்பாடில்லை.

கருவிகளும், வழிமுறைகளும் கண்டுபிடிக்கப்படலாம்; ஆனால், அடிப்படை கருதுகோளைக் கண்டுபிடிக்க முடியாது- அது ஏற்கெனவே உள்ளது அதை அறிவதற்கு வழிமுறைகள், கருவிகள் தேவை. ‘பை’யைக் கண்டறிந்தோம், நாம் அமைத்த ஒன்றல்ல அது.. என்றும் 5 +5 கூட்டுத் தொகை 10 தானே!

கணிதச் சிறப்பு என்பது சிறந்த துல்லிய முறையில் சிந்திப்பது. இத்துறையின் வளர்ச்சி, கண்டறிவதில் தானிருக்கிறது. கணிதம் தனக்கான அறிவியல் வழி முறைகளைக் கொண்டிருக்கிறது. 1911ல் ரோலட் அமுண்ட்ஸ்ன் மற்றும் அவரது சகாக்கள் நால்வர் தென் துருவத்தை முதல் முறையாக அடைந்தனர். இதன் பொருள் , தென் துருவம் கண்டுபிடிக்கப்பட காத்திருந்தது- அது முன்னரே அங்கு  இருந்தது. அதற்கான பயண திட்டங்கள், கருவிகள், முன்னெச்சரிக்கைகள், தனிப்பட்ட உடைகள், அனைத்தும் மனிதனின் கண்டுபிடிப்புகள். மிங்கோஸ்வி வெளி கருதுகோளை இவரும் இவர் நண்பரும் நிரூபிக்க உதவும் வழிமுறைகளை உருவாக்கினர். ஆனால், அதன் நிலைத் தன்மையை அல்ல.

க்ளைனர்மென் தன் கணித ஈடுபாட்டில் தனித்து செயல்படவில்லை. அவர் பல கணித வல்லுனர்களை திட்டமிட்டு, எதேச்சையாக சந்தித்துக் கொண்டேயிருந்தார். தன்னை வரம்பெற்றவர் என்று அவர் கருதுகிறார். புகரெஸ்ட்டில் வகுப்பறைக்கு வெளியே நடந்த pdes, தற்செயல் நல்வாய்ப்பான கூரன்ட் பல்கலை, அங்கே இவரது கணித ஈடுபாட்டை ஊக்குவித்தவர்களான (Fritz John) ஃப்ரிட்ஸ்ஜான் மற்றும் (Louis Nirenberg) லூயிஸ் நைரன்பெர்க், யாவ் தூண்டிய பொதுச் சார்பியல் தத்துவம், அனைத்தும் இவரை கணித- இயற்பியல் என்ற இரட்டையரை அந்தத் தத்துவங்களின் கூடுதுறைக்கு இட்டுச் சென்றது.

இரண்டும் இறுக்கமான பிணைப்புகளாக இருந்தாலும், நம் நாயகருக்கு கணிதத்தின் பால் பிரேமை அதிகம். ‘நான் பொது சார்பியல் கோட்பாட்டில் ஈடுபாடு கொண்டு பணியாற்றினாலும், நான் இயற்பியலாளர்களை மகிழ்வு செய்யத் தேவையில்லை.’ எந்த முன்முடிவும் இல்லாமல் அவர் உலகை அவதானித்தார். அதன் மறைந்திருக்கும் வடிவினுள்ளே என்னதான் எழுதியுள்ளது என்று அறிவதில் ஆர்வம் கொண்டார். தன்னை ஒரு ஆய்வாளர் என்றே சொல்லிக் கொண்டார். தன் ஆட்சியில் தான் உண்மை இருக்கிறது என்று கூவிய புகரெஸ்ட்டிலிருந்து, யாரும் உரிமை கொண்டாட முடியாத உண்மையான மெய்ம்மையை தன்னகத்தே கொண்டிருக்கும் கணிதம் தன்னை ஆட்கொண்டதற்கு அவர் நன்றி சொல்கிறார்.

இந்தியர்கள் கணிதத்தில் வல்லுனர்கள். இன்னும் சற்று முனைந்தால் சிகரங்களைத் தொடுவார்கள்.

உசாவிகள்:

இந்திய வேதங்கள்

https://aeon.co/essays/for-sergiu-klainerman-maths-is-a-fact-to-be-divined– Steve Nadis