முதல் ஆபெல் பரிசு பெற்ற ழான் பியே ஸேர் (Jean-Pierre Serre) மற்றும் இடவியல் (Topology)

பல துறைகளிலும் கோலோச்சிய ஆளுமைகள் குறித்த குறைந்தபட்ச தகவல்களேனும் பரவலாக பலருக்கு தெரிந்திருக்கிறது. குறிப்பாக சினிமா, கிரிக்கெட் மற்றும் அரசியல் துறைகளைச் சொல்லலாம். ஆனால், சிறந்த ஆளுமைகள் பலர் கணித துறையில் மேற்கொண்ட சாதனைகள் வெளிச்சத்திற்கு வராமலே உள்ளன. இப்படிப்பட்ட ஒரு சமகால தமிழ் சூழலில் கணித ஆளுமைகளையும், அவர்கள் கணித துறையில் முன்னெடுத்த ஆய்வுகள் குறித்தும் ஒரு சிறு அளவிலேனும் அறிமுகப்படுத்துவது அவசியமாகிறது. இதைச் செய்வதும், கணிதத்தின் புதிய பிரிவுகள் சிலவற்றைக் குறித்த குறைந்தபட்ச தகவல்களையாவது தமிழில் பதிவு செய்வதும்தான் கட்டுரைத் தொடரின் நோக்கம். இந்த வரிசையில் பிரான்ஸ் நாட்டைச் சேர்ந்த ழான் பியே ஸேர் என்ற கணித மேதையைக் குறிப்பிடுவது தவிர்க்க முடியாதது.

நோபெல் பரிசுக்கு இணையான ஒரு பரிசை கணித துறையில் நிறுவியபின் யாரை முதலில் கௌரவிப்பது என்ற கேள்வி எழுந்தது. குறிப்பிடத்தக்க சாதனைகள் செய்து, கணிதத் துறையை அடுத்த கட்டத்துக்கு எடுத்துச் சென்ற ஒரு ஆளுமைக்கே அந்தப் பரிசு கொடுக்கபட்ட வேண்டும் என்று ஆபெல் கமிட்டி முடிவு செய்தது. இத்தகைய உயர்ந்த தகுதிகளைத் தன் ஆய்வுகளின்வழி நிறைவு செய்த முதன்மையான ஆளுமையாக ழான் பியே ஸேர் (Jean-Pierre Serre) தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டார். “ஆபெல் பரிசை இதுவரை 12 கணித மேதைகள் பெற்றிருக்கிறார்கள். இந்தப் பரிசுக்கு 1.5 மில்லியன் அமெரிக்க டாலர்கள் மதிப்புள்ள பணமுடிப்பு கொடுக்கப்படுகிறது. பரிசுத்தொகையை விட இந்தப் பரிசினால் கிடைக்கும் பெருமை அளவிட முடியாதது. முதல் ஆபெல் பரிசு ழான் பியே ஸேர் (Jean-Pierre Serre) என்ற கணித மேதைக்கு 2003 ஆம் ஆண்டு வழங்கப்பப்ட்டது. ஏற்கனவே இவர் தன் 27 வது வயதில் ஃபீல்ட்ஸ் பதக்கம் வாங்கியவர்,” என்ற தகவலை ஆபெல் பரிசு குறித்த கட்டுரையில் படித்திருப்பீர்கள். இங்கு ஆபெல் குறித்த மேலதிக தகவல்களை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள முடியும்.

1954 ஆம் ஆண்டு “ஃபீல்ட்ஸ் மெடல்” என்ற கணிதத்திற்கான மிகவும் புகழ் வாய்ந்த பரிசைப் பெற்ற போது மிக இளம் வயதில் இந்த சாதனையைப் படைத்த பெருமைக்குரியவரானார் ழான் பியே ஸேர். இந்தப் பரிசை ஸேருக்கு வழங்கி உரையாற்றிய புகழ்பெற்ற கணித மேதை ஹெர்மன் வேய்ல் (Hermann Weyl), “கணித வானில் ஸேர் போன்ற ஒரு நட்சத்திரத்தின் உதயத்தை நான் இதுவரை எப்போதும் பார்த்ததில்லை” எனக் குறிப்பிட்டார். இங்கிலாந்து நாட்டு கணித மேதை ஜேம்ஸ் ஹார்டி, “கணிதம் என்பது இளம் வயதுக்காரர்களின் விளையாட்டு” என்று கூறியது கணிதத் துறையினரிடையே மிகப் பிரபலமான ஒரு மேற்கோள். ஹார்டி கவனப்படுத்திய உண்மைக்கு மிகவும் பொருத்தமான உதாரணம் ஸேர்.

உண்மையில் இவர் மேற்கொண்ட தீவிர ஆராய்ச்சிகள் 20ஆம் நூற்றாண்டு கணிதத் துறை வளர்ச்சிக்கு மிக முக்கியப் பங்காற்றின. குறிப்பாக இடவியல் (Topology), இயற்கணித இடவியல் (Algebraic Topology) மற்றும் எண் கோட்பாடு (Number Theory) முதலான துறைகளின் அடிப்படை புரிதலை விரிவுபடுத்திய பல கண்டுபிடிப்புகளுக்குச் சொந்தக்காரர் ஸேர்.

இடவியல் குறித்த தகவல்கள் சுவையானவை. பொருட்களின் மாறாத் தன்மைகள் எவை என்ற தேடலை மேற்கொள்ளும் கணிதத் துறை இடவியல். ஒரு பொருள் அல்லது அதன் வடிவத்தை மடக்கியோ, நீட்டியோ, வளைத்தோ பார்க்கும்போது அதன் நீளம், அகலம், உயரம் போன்ற பரிமாணங்கள் மாற்றம் காணும் என்பது நம் நேரடி அனுபவம். ஆனால் இது போன்ற வடிவ மாற்றங்களால் மாறுதல் அடையாத பொதுத்தன்மை என்று எதுவும் உண்டா? இடவியல், உண்டு என்ற விடை தருகிறது. எனில், மாறும் வடிவங்களின் மாறாத்தன்மை எத்தகைய இயல்பு கொண்டது?

பள்ளியில் நாம் படித்த ஜியோமிதியில் துவங்கி இது குறித்த புரிதலை நோக்கிச் செல்வது நமக்கு உதவக்கூடும்.

3,4,5 என்ற அளவுகளைக் கொண்ட ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தை எடுத்துக் கொள்வோம். இதன் ஒவ்வொரு பக்கத்தையும் இழுத்து இரண்டு மடங்காக்கினால் 6,8,10 என்ற அளவுகளில் நான்கு மடங்கு பரப்பளவு கொண்ட செங்கோண முக்கோணம் கிடைக்கும். இரண்டு முக்கோணங்களின் தன்மையும் ஒன்றுபோல்தான் இருக்கும். அதாவது ஒரு முக்கோணத்திலிருந்து மற்றொன்றைப் பெற்று விட முடியும். ஏனெனில், அவைகளுடைய கோணங்கள் சமமாக இருக்கும்.

அதேபோல் ஆரம் ஒன்று என இருக்கும் ஒரு வட்டத்தின் ஆரத்தை இரு மடங்கு கொண்ட பெரிய வட்டமாக்கி ஒன்றிலிருந்து மற்றொன்றைப் பெற முடியும். இதைப் பொதுமைப்படுத்திச் சொன்னால், இது போல் ஒரு வடிவத்திலிருந்து மற்றொரு வடிவத்தைப் பெறும்போது நீளம், அகலம், ஆரம் போன்ற அளவுகள் மட்டும்தான் மாறுமே தவிர வடிவத்தில் மாறுதல் இருக்காது. முக்கோணம் முக்கோணமாகவும், வட்டம் வட்டமாகவும்தான் இருக்கும். ஆனால் இவற்றின் வடிவத்தை மடக்கவோ அல்லது வளைக்கவோ கூடாது. அப்படிச் செய்தால் அது முற்றிலும் வேறு வடிவத்தைக் கொண்டதாக மாறிவிடும். இது நாம் அனைவரும் அறிந்த ஜியோமிதி.

ஆனால் இடவியலில் ஒரு பொருளை அல்லது ஒரு வடிவத்தை மடக்கி, நீட்டி, வளைக்கும்போதும் மாறாத ஒரு தன்மை உண்டு. நீளம், அகலம் போன்ற அளவுகளை மாற்றும்போதும் மாறாமல் இருப்பது எது என்பதை அறிய முற்படுவதுதான் இடவியல். அந்த பொதுத்தன்மைக்கு இழப்பில்லாமல் இடவியலில் ஒரு முக்கோணத்தையோ அல்லது சதுரத்தையோ வட்ட வடிவத்துக்கு மாற்றிவிட முடியும்.

இப்போது ஒரு பக்கத்தின் நீளம் ஓர் அடி என இருக்கும் ஒரு சதுரத்தை எடுத்துக் கொள்வோம். இதன் நான்கு கூர் முனைகளையும் வளைத்து இதை ஒரு வட்டமாக மாற்றி விட முடியும். வடிவம் வேறாக இருந்தாலும், இடவியல் பார்வையில் சதுரமும் வட்டமும் ஒன்றுதான். ஒரு பொருளைக் கிழிக்காமலும் வெட்டி ஒட்டாமலும் அதன் தற்போதைய வடிவத்திலிருந்து வேறு வடிவத்திற்கு மாற்ற முடியுமெனில், இடவியல் இந்த இரு பொருட்களையும் ஒத்த இயல்பு கொண்டவையாகப் பார்க்கிறது. உதாரணத்திற்கு காபி கோப்பையும் ஓட்டை போட்ட வடையும் இடவியல் அடிப்படையில் ஒன்றுதான். எப்படி ஒன்றாகிறது என்பதை இங்கே பார்க்க.

ஏனெனில், காபி கோப்பையிலிருந்து (ஓட்டை போடப்பட்ட) மெதுவடையையும் டோனட்டையும் தொடர் சார்பின் (continuous mapping) மூலம் பெறமுடியும். இடவியலில் உருண்டு திரண்ட பந்தும் காற்று போய் தட்டையாய் கிடக்கும் பந்தும் ஒன்றுதான். இதனால் தான் இடவியலை “ரப்பர் சீட் ஜியோமிதி” என்றும் அழைக்கிறார்கள்.

ஒரு பந்து மற்றும் மெதுவடையும் இடவியலில் வெவ்வேறு என கண்டறிய பொய்ன்காரீ (Poincare) என்ற பிரஞ்சு கணித மேதை ஒரு நிபந்தனையை முன் வைத்தார். அந்த நிபந்தனையானது “இடவியல் தன்மை கொண்ட பொருளின் மேல் எத்தனை விதமான வெவ்வேறு வட்டங்களை, ஒன்றிலிருந்து மற்றொன்று கிடைக்கப் பெறாமல் வரைய முடியும்?” என்பதுதான். இதனை இங்கு விளக்க முயற்சிப்போம்.

ஒரு பந்தை எடுத்து அதன் மேற்பரப்பில் ஒரு சிறிய வட்டம் வரைவோம். அதையொட்டி சற்றே பெரிய வட்டம் வரைந்து, அந்தச் சிறு வட்டத்தை தொடர்ச்சியாக சிறிது சிறிதாகப் பெரிதாக்கி பெரியதொரு வட்டத்துக்குக் கொண்டு வந்துவிட முடியும். அதே போல், ஒரு பெரிய வட்டத்தை தொடர்ச்சியாகக் கொஞ்சம் கொஞ்சமாக சிறிதாக்கி சின்னஞ்சிறு வட்டமாக மாற்றிவிட முடியும்.

இதே போல், ஒரு சைக்கிள் ட்யூப் (cycle tube) அல்லது மெதுவடையின் மேற்பரப்பின் ஒரு பக்கத்தில் ஒரு வட்டம் வரையவும். பின் ஓட்டையை ஒட்டி அதனைச் சுற்றி படத்தில் இருப்பது போல் மற்றுமொரு வட்டம் வரையவும். இப்போது இங்கு தொடர்ச்சியாக ஒரு வட்டத்திலிருந்து மற்றொரு வட்டத்தை கொண்டு வர முடியாது. அதாவது தொடர்ச்சியாக நாம் வரையும் வட்டங்கள் இருவேறு வகையாக இருக்கும், இங்கு நம்மால் தொட்டுத் தொடர்ந்து ஒன்றிலிருந்து மற்றொன்றுக்குச் செல்ல முடியாத வெவ்வேறு வட்டங்களை ஒரே வடிவத்தின்மேல் வரைய முடிகிறது.

எனவேதான் இடவியலில் பந்தும், சைக்கிள் ட்யூபும் ஒன்றல்ல. ஆனால் சைக்கிள் ட்யூப், மெதுவடை மற்றும் காபி கோப்பை – இவை எல்லாம் ஒன்றுதான். இரண்டு துளைகள் கொண்ட டோனட் ஒரு துளை கொண்ட டோனட்டிலிருந்து இடவியலாக வேறுபடுகிறது.

இப்போது எழும் கேள்வி, ஒத்த இடவியல் தன்மை கொண்ட பொருட்களைக் கண்டறிவது எப்படி?

ஒத்த இடவியல் தன்மை கொண்ட பொருட்களைக் கண்டறியும் ஆராய்ச்சியில் அந்த பொருட்களுக்கிடையே ஒரே மாதிரியான இயற்கணித (algebraic) தன்மை இருப்பதை கணிதவியலாளர்கள் கண்டறிந்தனர். இதனால் இடவியல் தன்மையுள்ள பொருட்களின் இயற்கணித விளக்கத்தைக் கண்டறிவது முக்கியத்துவம் கொண்டதாக உணரப்பட்டது. இதற்கான ஆய்வில்தான் இடவியல் துறைக்குள் இயற்கணிதம் நுழைந்து இயற்கணித இடவியல் (algebraic topology) என்ற புதிய கணித பிரிவிற்கு வித்திட்டது.

இந்த புதிய துறையில் ஆய்வுகள் மேற்கொண்ட ஸேர், இடவியல் பொருட்களின் இயற்கணித தன்மையை விவரிக்க உதவும் உபகரணங்களைக் கண்டறிந்த காரணத்தால் இன்றும் ஒரு முன்னோடியாகத் திகழ்கிறார்.

மேலும் ஸேர் எண் கணிதத்தில் மிக முக்கியமான ஆராய்ச்சிக்கு சொந்தக்காரர். நீள்வட்டத்தை விவரிக்கும் மூன்றுபடி சமன்பாடுகளின் தீர்வுகள் குறித்து ஸேர் முக்கிய கண்டுபிடிப்புகள் செய்துள்ளார். நீள்வட்ட வரைவுகள் புகழ்பெற்ற ஃபெர்மாட்டின் இறுதி தேற்றத்தை (Fermat’s Last Theorem) நிரூபிக்க உதவியது. மேலும் மறைக்குறியீடு (Cryptography) என்ற இன்று மிகவும் பிரபலமான துறையில் நீள்வட்ட வரைவுகள் மிகவும் பயன்படுபடுகின்றன.

தன் கணித திறமைக்காக பல பரிசுகளை பெற்றுள்ள ஸேர் எழுதிய கணிதப் புத்தகங்கள் மிகவும் பிரபலமானவை.  ஸேர்  குறித்த பிற தகவல்களை வேறு கட்டுரையில் பார்ப்போம்.

மேற்கோள்கள்:
http://www.ommachi.net/archives/672
http://www.abelprize.no/c53866/seksjon/vis.html?tid=54472