kamagra paypal


முகப்பு » ஆளுமை, கணிதம்

கணிதமேதை

கடந்த டிசம்பர் 22-ஆம் தேதி ஸ்ரீனிவாஸ ராமானுஜனின் 125-ஆவது பிறந்த நாள். அவர் நினைவாக வெளியாகும் சிறப்புக்கட்டுரை இது.

ramanuja-mc

இந்தியாவிலும், தமிழ்நாட்டிலும் கணித மேதை என்பதைக் கேட்டதும் பாமரனுக்கும் நினைவில் வருவது இராமானுஜன் பெயர்தான். இந்தியாவில் எத்தனையோ கணித வித்தகர்கள் இருந்த போதும், இவருடைய கணித ஆராய்ச்சியின் சுவடுகள் இன்றும் முக்கியத்துவம் வாய்ந்த ஒன்றாகக் கருதப்படுவதால்தான் இவருக்கு இந்தப் புகழ்.

ராமானுஜன் சிறு வயதிலிருந்தே கணிதத்தில் ஈடுபாடும், கடினமான கணிதப் புதிர்களுக்குக் கூட குறுகிய நேரத்தில் தீர்வு காணும் திறமையும் பெற்றிருந்தார் என்பது அனைவரும் அறிந்ததே. ராமானுஜன் பள்ளி நாட்களில் லோனியின் “திரிகோணமிதி” புத்தகத்தில் இருந்த கணக்குகளுக்குத் தீர்வு கண்டார். அதன் பின் கார் (Carr) என்பாரின் கணிதப் புத்தகம் கிடைக்கப் பெற்றார். அதைப் படித்ததில் ராமானுஜனுக்கு 18-19 ஆம் நூற்றாண்டின் கணிதத்தை அறிந்து கொள்ள முடிந்தது. அதே நேரத்தில் அந்தப் புத்தகத்தில் தீர்வுகளுக்கான வழி முறைகள் சரியாக விளக்கிச் சொல்லப்படவில்லை. அந்த வழக்கத்தை ராமானுஜனும் தன் கணிதத் தீர்வுகளில் பயன்படுத்தினார். அதனால் அவர் நோட்டுப் புத்தகத்தில் தேற்றங்கள் தெளிவான வழி முறைகள் இல்லாமல் குறிக்கப்பட்டிருந்தன. அவர் வழி முறைகள் இல்லாமல் எழுதி விட்டுச் சென்ற முடிவுகளை நிறுவ கணிதவியலாளர்களுக்குப் பல ஆண்டுகள் ஆகின.

அவர் 1903-1914 ஆம் ஆண்டு வரையிலான தன் கணித ஆராய்ச்சி முடிவுகளை இரண்டு பெரிய நோட்டுப் புத்தகத்தில் எழுதி வைத்திருந்தார். ராமானுஜன் தொடர்ந்து கணித ஆராய்ச்சி செய்ய விரும்பினார். அதற்காக யாராவது பொருளாதார உதவி செய்தால் பெற்றுக் கொள்ளத் தயாராக இருந்தார். தான் கண்டறிந்த கணித முடிவுகளை எழுதி இருந்த நோட்டுப் புத்தகத்தைத் தன் அக்குளில் வைத்துக் கொண்டு கணிதப் பேராசிரியர்கள், மற்றும் சமுதாயத்தில் சில பெரியவர்கள் எனப் பலரையும் சந்தித்து உதவியை நாடினார். ராஜாஜியும் இவருடன் கும்பகோணப் பள்ளியில் படித்திருந்தார். அவரையும் ராமானுஜன் சந்தித்தார். அவர் கணிதம் யாருக்கும் புரியவில்லை என்பதுதான் உண்மை. கிட்டத்தட்ட 100 தேற்றங்கள் கொண்ட ஒரு கடிதத்தை புகழ்பெற்ற இங்கிலாந்து கணிதப் பேராசிரியர் ஹார்டிக்கு எழுதினார் ராமானுஜன். அதைக் கூர்ந்து படித்த ஹார்டி, ராமானுஜன் இங்கிலாந்து வருவதற்கான ஏற்பாடுகளைச் செய்தார். இங்கிலாந்திலிருந்த ஐந்து ஆண்டுகள் அவர் மேற்கொண்ட ஆராய்ச்சியும் அதன் முடிவுகளும் அவர் திறமையை முழுவதும் வெளிப்படுத்த ஏதுவாக இருந்தன.

ராமானுஜன் தன் கணித திறமைக்கு நாமக்கல் நாமகிரித் தயார்தான் காரணம் என நினைத்தார் அதை சரி என்றோ இல்லை எனவோ நிறுவ முடியாது என்று ராமானுஜனின் கணித முடிவுகளில் ஆராய்ச்சி மேற்கொண்ட Bruce C. Berndt கூறியுள்ளார். ஆனால் ஹார்டி, ராமானுஜனின் சிந்தனை முறை மற்ற கணித மேதைகளை ஒத்திருந்தது என்றார். அவரின் கணித முடிவுகள் ஆய்லர் (Euler), ஜகோபி (Jacobi) போன்ற கணித மேதைகளுடன் ஒப்பிடும் தரத்தில் இருந்தது என்றும் ஹார்டி கூறியுள்ளார். இங்கிலாந்தில் வசித்த சமயம் ராமானுஜனின் உடல் நிலை பாதிக்கப்பட்டது. அவர் இந்தியா வந்து 1920 ஆம் ஆண்டு ஏப்ரல் 20 ஆம் தேதி இயற்கை எய்தினார். ஆனால் இன்றும் அவர் பெயரில் கணித ஆராய்ச்சி அமைப்புகள் நிறுவப்பட்டுள்ளன. பரிசுகள் கொடுக்கப்படுகின்றன.

ராமானுஜனை கெளரவிக்கும் விதத்தில், 1957 ஆம் ஆண்டு அழகப்பச் செட்டியார் ராமானுஜன் இன்ஸ்டிட்யூட் ஆஃப் மாதமாடிக்ஸ் (Ramanujan Institute of Mathematics) என்ற அமைப்பைத் துவக்கினார். ஆனால் சில வருடங்களில் அந்த நிறுவனத்தைத் தொடர்ந்து நடத்துவதில் பொருளாதாரச் சிக்கல்கள் தலை தூக்கின. அச்சமயம் நோபெல் பரிசு பெற்ற விஞ்ஞானி சந்திரசேகர் அவர்கள் ராமானுஜன் பெயரில் இயங்கும் நிறுவனத்தைக் காக்கும் பொருட்டு அன்றைய பிரதம மந்திரி நேருவின் உதவியை நாடினார். அந்த முயற்சியின் பலனாக பல்கலைக்கழக மானியக் குழுவின் உதவியுடன் 1927 ஆம் ஆண்டு முதல் இயங்கி வந்த மதராஸ் பல்கலைக்கழகத்தின் கணிதத் துறையுடன் இணைக்கப்பட்டு ‘ராமானுஜன் இன்ஸ்டிட்யூட் ஆஃப் அட்வான்ஸ்ட் ஸ்டடி இன் மாதமாடிக்ஸ்’ (Ramanujan institute of Advanced Study in Mathematics) என்ற பெயருடன் 1967 ஆம் ஆண்டிலிருந்து செயல் பட்டுக் கொண்டிருக்கிறது.

1987 ஆம் ஆண்டு ராமானுஜனின் 100 வது ஆண்டு விழா சிறப்பாகக் கொண்டாடிய சமயம் அதில் நானும் பங்கு பெறும் வாய்ப்புக் கிடைத்தது. நூற்றாண்டு விழாவை அன்று இந்தியப் பிரமதராக இருந்த ராஜீவ் காந்தி தொடங்கி வைத்தார். தொடக்க விழா கலைவாணர் அரங்கத்தில் நடந்தது. அதில் ராமானுஜனின் கணிதத்தில் ஆராய்ச்சி செய்து வந்த ஜார்ஜ் ஆன்ட்ரூஸ், விண் இயற்பியலாளர் சுப்ரமணியம் சந்திரசேகர் மற்றும் பல கணிதவியலாளர்கள் கலந்து கொண்டார்கள். அந்த விழாவில் சந்திரசேகர், நியுட்டன் மற்றும் ஐன்ஸ்டீனின் கணிதத் திறமையை ஒப்பிட்டு ஆற்றிய உரை மிகச் சிறந்ததாக இருந்தது.

ராமானுஜனின் பெயரில் கணித ஆராய்ச்சிக் கட்டுரைகளை தாங்கி ‘ராமானுஜன் ஜோர்னல்’ (Ramanujan Journal) என்ற சஞ்சிகை இன்னும் வெளிவருகிறது. கும்பகோணத்தில் இருக்கும் சாஸ்திரா பல்கலைக்கழகத்தால் வருடம் ஒரு முறை “ராமானுஜன் பரிசு” 2005 ஆம் ஆண்டு முதல், எண் கணிதத்தில் சாதனை புரிந்தவர்களுக்குக் கொடுக்கப்படுகிறது. ராமானுஜன் தன் சாதனைகளை 32 வயதுக்குள் அடைந்ததால் இந்தப் பரிசும் 32 வயதிற்குள் சாதனை செய்தவர்களுக்கே கொடுக்கப்படுகிறது. 2003 ஆம் ஆண்டு பரிசைத் தமிழ் நாட்டைச் சேர்ந்த கண்ணன் சௌந்தரராஜன் மற்றும் மஞ்சுள் பார்கவ் என இருவர்பகிர்ந்து கொண்டார்கள்.

ராமானுஜன் மையச் சதுரம், பையின் மதிப்பைக் கண்டறிதல், எண்ணின் பிரிவினைகள், முடிவில்லா தொடர்கள் என பல பிரிவுகளில் தன் ஆராய்ச்சி முடிவுகளை கொடுத்துச் சென்றுள்ளார். அவரின் இந்த 126 பிறந்த நாளில் அவரை இந்தியரும், தமிழரும் இன்னும் நினைவு வைத்திருப்பதைப் பற்றி நாம் மகிழ்ச்சி கொள்ளலாம்.

ராமானுஜனின் கணிதம்.

ராமானுஜன் அவரின் பள்ளிப் பருவத்தில் மாயச் சதுரங்கள் உருவாக்கிருக்கிறார். மேலும் அவைகளை உருவாக்கும் பொதுவான முறையையும் கொடுத்திருக்கிறார். மாயச் சதுரம் உதாரணமாக
8 1 6
3 5 7
4 9 2
என்று சதுரமாக 1 முதல் 9 வரை உள்ள எண்களை வரிசையாக (row) மற்றும் நெடுவரிசையாக (column) எழுதுவோம். இந்த 3X3 சதுரத்தில் வரிசையாக (row), நெடுவரிசையாக (column) மற்றும் மூலை விட்டங்களிலுள்ள எண்களைக் கூட்டினால் ஒரே கூட்டுத்தொகை 15 ஐ கொடுக்கிறது. இதைத்தான் .மாயச் சதுரம் என்கிறோம். இதில் மத்திய வரிசை, மத்திய நெடு வரிசை மற்றும் மூலை விட்ட எண்களைக் கவனிக்கவும். 1+4 5, 5+4= 9 மற்றும் 3+2=5, 5+2=7 என்றிருக்கிறது. அதாவது 1,5,9 மற்றும் 3,5,7 எண்கணிதக் கோவையாக (Arithmetic Progression) இருப்பதைக் காணலாம். அதே போல் தான் 8,5,2 மற்றும் 6,5,4 எண்களின் வரிசையும் இருப்பதைக் காணலாம். இராமானுஜன் இந்த எண்கணித நிபந்தனையை பயன்படுத்தி 3X3 மாயச் சதுரம் அமைக்கும் முறையைக் கொடுத்திருக்கிறார்.

A, B, C என்ற இயல் எண்கள் மற்றும் P, Q, R எனும் இயல் எண்கள் எண்கணிதக் கோவைகளாக இருக்கும் பட்சத்தில்.

C+Q A+P B+R
A+R B+Q C+P
B+P C+R A+Q

என்பது ஒரு மாயச் சதுரமாக அமையும் ஆனால் ஒரே எண் ஒரு முறைக்கு மேலும் சதுரத்தில் வருவதிற்கு வாய்ப்பிருக்கிறது. ஒரு உதாரணம். 54 கூட்டுத் தொகையாகவும், எல்லா எண்களும் மூன்றால் வகுபடும் படியும் இதோ ஒரு மாயச் சதுரம்.

30 9 15

3 18 33

21 27 6

ராமனுஜன் இங்கிலாந்தில் இருந்த போது உடல்நிலை சரியில்லாததால் மருத்துவ மனையில் சிகிச்சைக்காக சேர்க்கப் பட்டார். அவரை உடல் நலம் விசாரிக்கச் சென்ற ஹார்டி “நான் பயணம் செய்த டாக்ஸ்யின் எண் எனக்குப் பிடித்ததாக இல்லை, 1729 என்ற அந்த எண்ணுக்கு எந்தச் சிறப்பியல்புமே இல்லை” என்றார்.

உடனடியாக ராமானுஜன், “அந்த எண் இரண்டு வெவ்வேறு முறைகளில் இரண்டு எண்களின் 3 – இன் அடுக்குகுறியின் கூட்டுத் தொகையாக எழுத முடியக் கூடிய மிகச் சிறிய நேர்மறையான எண்” ஆகும் என்று கூறி ஹார்டியை ஆச்சிரியத்தில் ஆழ்த்தினார்.

அதாவது

1729 = 10^3 + 9^3
1729 = 12^3 + 1^3

ராமானுஜன் இதைக் குறித்த அவருடைய சிந்தனை அவருடைய தொலைந்த நோட்டுப் புத்தகத்தின் 341 ஆம் பக்கத்தில் இருப்பதைக் காணலாம். இதற்கும் 17 ஆம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்த Fermat என்ற கணித மேதை புத்தகத்தின் மார்ஜினில் எழுதி வைத்த ஒரு குறிப்புக்கும் தொடர்பிருக்கிறது. ஒரு முப்படி எண்ணை இரண்டு முப்படி எண்களின் கூட்டுத் தொகையாக எழுத முடியாது என்பது தான் அந்தக் குறிப்பு. (it is not possible to split a cube as a sum of two cubes).

அதாவது 12^3 = 10^3 + 9^3 – 1 என்றிப்பதைக் காணலாம். இதைப் போல் வேறு சில முற்றொருமை காட்டும் சமன்பாடுகள்.(identities) ராமானுஜன் எழுதி வைத்துள்ளார்.

135^3+138^3 = 172^3 – 1
11161^3+11468^3=14258^3+1
791^3+812^3=1010^3-1
65601^3+67402^2 = 83802^3 + 1
6^3+8^3 = 9^3-1

சரி இதெல்லாம் எப்படி ராமானுஜன் அறிய முடிந்தது? அவர் தொடர்ந்து கணிதச் சிந்தனையில் ஈடுபட்டதுதான் எனலாம். இது போல் ராமானுஜனின் வாழ்கையையும், கணிதத்தையும் தொடர்ந்து படித்தால் நிச்சியம் உக்கமளிப்பதாக இருக்கும் என்பதில் சந்தேகமில்லை. இதைக் குழந்தைகளுடனும், இளைஞர்களுடனும் பகிர்ந்து கொள்வது அவசியம். அதை விட குழந்தைகளின் திறமைகளிக் கண்டறிந்து அதனை முடித்த வரை ஊக்கப்படுத்த வேண்டும். அது எதிர் கால சமுதாயத்திற்கு பேருதவியாக இருக்கும் என்பதில் ஐயமில்லை.

Comments are closed.