லலிதா சகஸ்ரநாமம், ‘அந்தர் முக சமாராஸ்யா, பஹிர்முக சுதுர்லபா’ என்று பேசுகிறது. உள்ளுக்குள் எளிதாக காணக் கிடைப்பவளும், வெளியே தேடுபவர்களுக்கு அகப்படாதவளுமான அம்பிகை என்று சொல்கிறது.
சீர்மையற்ற எண்கள்(Random numbers) என்று தோற்றம் தருபவை உண்மையில் அவ்வாறு தானா? நிகழ்தகவு(probability)என்பதன் குணங்களை சரியாகச் சொல்வது கூட கடினமான ஒன்றுதான்.
தாயம் உருட்டுகையில் நீங்கள் விரும்பும் எண் அப்படியே கிடைப்பது என்பது நிகழ்தகவைப் பொறுத்தது. தற்செயலாக நடந்திருந்தால் அது நம்மை மகிழ்விக்கும். ஆனாலும் அதை கணிப்பது என்பது கடினம் என்றே நாம் உணர்கிறோம். நம்முடைய கைகளை எத்தகைய உந்து சக்தி கொண்டு எந்த கோணத்தில் பகடையை உருட்டுகிறோமோ, அதை நாம் கவனித்து செயல் பட்டால், தாயம் என்னவாக விழும் என்பதை கணிக்கவும் முடியும். பொதுவாக இயலாத ஒன்று அது. இதைத்தான் கணித இயலாளர்கள் சூடோரேன்டம் (pseudorandom) போலி அசீர்மை என அழைக்கிறார்கள். இதில் வியப்புக்குரியது என்ன என்றால், சீர்மையற்ற ஒன்று, சீர்மை உள்ளதாக நமக்குத் தோன்றுவது தான். தாயம் உருட்டும் விதத்தில் நாம் விரும்பும் எண் விழக்கூடிய சாத்தியங்கள் உள்ளன என்ற உண்மையை அறிந்திருந்த போதிலும் நாம் சீர்மையற்றதை நம்புவோம்
கூகுளை நாம் அத்தகைய ஒரு சீர்மையற்ற இலக்கத்தை உருவாக்க சொல்லி கேட்டால் அது தூய்மையான சீர்மையற்ற கணித மாதிரிகளைக் கொண்டு முடிவுகளை கொடுப்பதில்லை. அது சீர்மையைக் கொண்டு சீர்மையற்ற இலக்கத்தைத் தருவதாக நம்மை நம்பச் செய்துவிடும். அதன் வழிமுறையோ, அதற்கான உள்ளீடுகளோ, எவையுமே நாம் அறியாதவை. இவ்விதத்தில் கிடைக்கப்பெற்ற எண்களும் போலிச் சீர்மைகளே.
ஆம், இதற்கான தேவை தான் என்ன? சூதாட்டங்களில், லாட்டரிகளில், மாதிரிகளில் இவைகள் தான் உள்ளீடுகள்.
வங்கிகளும், நிதி நிறுவனங்களும், பாதுகாப்பிற்காகவும், கெந்துதலை தவிர்ப்பதற்காகவும் இவற்றை விரும்புகின்றன.
இந்த போலி அசீர்மை எண்களை கெந்துவதில் ஒரு சவால் இருக்கத்தானே செய்கிறது? அதை முறியடிக்கவே சில நுட்பமான உள்ளீடுகள் தேவைப்படுகின்றன. இணையம் மற்றும் நேரலை தளங்களுக்கான பாதுகாப்பு தரும் கிளவுட் ப்ளேர் (cloudflare) குழுமம், லாவா ரேன்ட் (Lavarant) என்பதைப் பயன்படுத்துகிறது. எரிமலை குழம்பு களின் வெளிச்சச் சிதற லைக் கொண்டு சீர்மையற்ற எண்களை உருவாக்கி பாதுகாப்பு செயலியை அமைத்துள்ளது.
நாம் உதாரணத்திற்கு இதை எடுத்துக் கொள்வோம். ஒரு வெளியில் காணப்படும் புள்ளிகளின் கோர்வை-அது, நிர்ணயிக்கப்பட்ட செயல்முறைகளில் வந்ததா அல்லது சீர்மையற்ற ஒன்றா? இந்தக் கேள்விதான் கணிதவியலின் பல துறைகளில் பயன்பாட்டிலும், ஆராய்ச்சியிலும் இருக்கிறது. இருப்பினும் நமக்கு ஒரு ஆச்சரியம் கலந்த வினா எழுகிறது “எந்த அளவில் இந்தச் சோதனைகள் சரியானவை? இந்தக் கோர்வையில் சீர்மை இல்லாத புள்ளித் தொகுப்பு இல்லையா, அப்படி இருந்தும், இந்த சோதனைகளை எவ்வாறு சரியான ஒன்றாக நாம் ஏற்றுக் கொள்கிறோம்” இவை போலி அசீர்மை என்று அழைக்கப்படுகின்றன.
இந்தப் போலி அசீர்மை பல விதங்களில் அறிவியலுக்கு பயனுள்ளதாக உள்ளது. முதன்மை எண்களை அறிவது தொடங்கி, குவாண்டக் குழப்பம் (Quantum chaos) வரை இதன் உபயோகங்கள் அதிகம்.
பெரும் நோய் தொற்று காலகட்டத்தில், சீராக இருப்பவற்றில் ஏதேனும் சீர்மையற்ற குணங்கள் தென் படுகின்றனவா என்பதைப் பற்றிய ஆராய்ச்சியில், நானும், டெல்அவிவ் பல்கலையில் ஆராய்ச்சியாளராக இருந்த நிக்லாஸ் டெக்னோ அவர்களும் இதைக் குறித்து இணைய வழி கடிதப் பரிமாற்றங்கள் செய்து கொண்டு, 22 ஆம் ஆண்டு நடுவில், ஒருவரை ஒருவர் அதுவரை நேரில் சந்தித்திராத நிலையில் மூன்று கட்டுரைகளை வெளியிட்டோம். ஒரு விஷயம் தெளிவானது-மிகக் கடுமையான போலி அசீர்மை சோதனைகளை சில தொடர் எண்களே சிறப்பாக எதிர்கொள்ள முடிந்தது.
ஆமாம், சீர்மை அற்றவைகளை எப்படி கண்டுபிடிப்பது? இதற்கு எளிமையான வழிமுறை ஒத்த பங்கீடுகள் தான்.(uniform distribution).
இரண்டு பெட்டிகளை உதாரணமாக எடுத்துக் கொள்ளலாம். அவைகளில் புள்ளிகள் சிதறி இருக்கின்றன. அவற்றில் ஒன்றில் முழு பக்கத்திலும் புள்ளிகள் இருக்கின்றன,
மற்றொன்றில், மேல் பகுதியில் மட்டும் புள்ளிகள் இருக்கின்றன. இந்த இரு பெட்டிகளில் எது அதிகமாக சீர்மையற்றதாக நமக்குத் தோன்றும்? பரவலாக ஒரு பக்கத்தில் பாதிப் புள்ளிகள் உள்ள பெட்டியை சீர்மையற்றதாகச் சொல்லுவோம். இதிலிருந்து நாம் தெளிவு பெறுவது ஒரு செய்தி-புள்ளிகள் அதிகரிக்கையில் மிக நெருக்கமாக அவைகள் இணைந்து கொள்கின்றன.
நாம் ஒன்றை இப்போது சிந்திக்கலாம்.0க்கும்,1க்கும் இடையில் இருக்கும் இலக்கத் தொடர்ச்சியை பார்க்கலாம். இந்த இரண்டின் இடைவெளிகளில், எங்கு வேண்டுமானாலும், ஒத்து பரவலாகும் நிகழ்தகவு இருப்பது சீர்மை எனப்படுகிறது.
உதாரணத்திற்கு, கீழே உள்ளதை எடுத்துக் கொள்வோம்
0.142,0.566,0.274,.0.265
இந்த சமன்பாடு எப்படி உருவானது?
Xn={πn2}
வளைவுக் குறியை எடுத்து விடலாம். அப்படி என்றால், π×12=3.141
முழு எண்ணான மூன்றை நீக்கிவிட்டால், இது 0.141 ஆகிவிடும்
அதைப்போலவே, இரண்டாம் எண்ணான π×22=12.566, என்பது 0.566 என வரும்..
இதெல்லாம் சரிதான். ஒரு தொடர் ஒத்த பரவல் உள்ளது என்பதை எப்படி கண்டுபிடிப்பது? ஒரு தொடரில் இருக்கும் புள்ளிகளில், 0&1 இடையிலான துணைப் பகுதியில் எவ்வளவு இடம் பிடிக்கின்றன என்பதை அறிய வேண்டும். அந்த துணைப் பகுதியின் பரப்பளவை, புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையால் பெருக்கினால் எது வருமோ அதுதான் விடையாக இருக்கிறது.
இந்த குணத்தைப் புரிந்து கொண்டால், நமக்குxn={πn2} என்பது ஒத்து பரவி இருக்கிறது என்பது தெரிகிறது. அதேநேரம், இதைப் பாருங்கள். ஒரு தொடர்xn={3/7n2} ஒத்து பரவி இருக்க வில்லை. ஏனெனில், 0.05&1 இரண்டிற்கும் இடையேயான இடைவெளியில் எந்த ஒரு புள்ளியும் வந்து சேராது. 1916 இல் Hermann Weyl இதை அற்புதமாக நிரூபித்து இருந்தார். இது ஒரு முன்னோடிச் செயலாக கொண்டாடப்படுகிறது.
வேறென்ன சோதனைகள் இருக்கிறது?
மேலே நாம் இரண்டு பெட்டிகளை பார்த்தோம் இப்போது மூன்று பெட்டிகளைப் பார்ப்போம். இடதில் இருக்கும் பெட்டியில் புள்ளிகள் இடையே சீரான இடைவெளியை பார்க்கிறோம். நடு பெட்டியில் குழுக் குழுவாக புள்ளிகள் காணப்படுகின்றன. வலது பெட்டியில் தென்படுபவை சீர்மையற்றதாகத் தெரிகிறது. இத்தகைய எடுத்துக்காட்டுகளின் மூலம், கணிதவியலாளர்கள், இடைவெளி பங்கீடுகள்,(gap distribution) ஜோடிகள் இணைப்பு (pair correlation )மற்றும் தன்மைகள் பற்றி ஆராய முடிந்தது. இதை Poissonian என்று முதலில் ஆய்வு செய்து சொன்ன Sime’on-DenisPoisson, என்பவரின் பெயரால் அழைக்கிறார்கள். ஒரு நிகழ்வு நடப்பதற்கான சாத்தியங்களைப் பற்றி சொல்வதில், குறிப்பிட்ட இடைவெளி உள்ள நேரம், வெளி இவற்றை கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ள வேண்டும் என்று சொன்னார். ஒரு பொருள் கொண்டுள்ள நிலைத்த மின்சாரத்தை இதன் மூலம் அவர் விளக்கினார்.
இந்த சோதனைகள் உபயோகமானவை, ஆயினும் ஒரு தொடரின் குணங்களை நிரூபிக்கும் வண்ணம் இருக்கின்றதா என்ற கேள்வியும் எழுந்தது. தர்க்கபூர்வமான நிரூபங்கள் தேவை.
நான் என்ன செய்தேன்?
முன்னர் பார்த்த xn={a&θ} என்று எழுதினால் a&θ இரண்டும் எண்களைக் குறிக்கும். இது வரலாற்று புகழ் வாய்ந்த ஒன்றும்கூட. Weyl இதைக் கொண்டுதான் ஒத்த பரவுதலை நிறுவினார். இது இப்பொழுது மீண்டும் எடுத்தாளப்படுகிறது. முக்கியமாக இதற்கும் குவாண்டக் குழப்பத்திற்கும் இடையே இருக்கும் மிக ஆழமான ஒரு தொடர்பை இதன் மூலம் நிறுவ முடியுமா என்று செயல்பாடுகளே இந்த ஆர்வத்திற்கு காரணம். டெனிஸ் பாய்சனின் சமன்பாட்டில் ஜோடிகளுக்கு இடையேயான தொடர்பையும் குவாண்டப் பிணைப்பு சிக்கலையும் நம்மால் இதனால் ஓரளவிற்காவது புரிந்து கொள்ள முடிகிறது அல்லவா?
நாங்கள் எளிதாக மேற் சொன்ன சமன்பாட்டை வந்தடையவில்லை θ சிறியதாக இருந்தால், இந்த சமன்பாடு சிறப்பான, தர்க்கபூர்வமான முடிவைக் கொண்டு வருகிறது என்பதை அறிந்து கொண்டோம். இதை நிரூபிப்பதற்காக தனியாக செயல்பட்டு வந்த Athanasios Sourmelidis உடன் இணைந்து ஒன்றை கண்டுபிடித்தோம். எந்த ஒரு எண்ணாக இருந்தாலும் சரி, θ, குறைவாக இருந்தால், ஜோடி தன்மையை தொடரில் காண முடிகிறது. பிறகு நானும் டெக்னவும், இந்த உத்திகளை கையாண்டு, வலுவான, மூவிணைப்பு எனச் சொல்லப்படும், போலி அசீர்மையை நிரூபித்தோம்.
நாங்கள் அறிந்த வரை இந்த உதாரணங்கள் சிறப்பானதொரு போலி அசீர்மையை கொண்டு வரும் தகுதி பெற்றவையாக இருக்கின்றன. நம்முடைய கணித இயலில், இந்த வலுவான உதாரணத்தைக் கூட நிர்ணயிக்கப்பட்ட ஒன்று என்றோ, சீர்மை அற்ற ஒன்று என்றோ சொல்ல முடியவில்லை. ஆயினும் இது, Benford விதிமுறைக்கு ஒத்து வருவதால் இதை, சீர்மை அற்ற சீர்மை என்று சொல்லலாம். Benford சொன்னார்: ஒரு எண்ணின் தலைமைப் பொறுப்பு மிகச்சிறிய எண்களான ஒன்று, இரண்டு, மூன்று அவைகளில் இருக்கிறது, அதாவது 7 8 9 என்பதை காட்டிலும். இதன் மூலம், இயற்கையாக உள்ள தகவல் தொகுப்புகளில் நாம் காணும் அமைப்புகளையும், அப்படியான அமைப்பு இல்லாதவைகளையும் அறிந்து கொள்ள முடிகிறது. இது தகவல்களில் இருக்கும் முரண்பாடுகளையும், ஏமாற்று வேலைகளையும் புரிந்து கொள்ள உதவும் ஒன்று
போலி அசீர்மைகள் கவர்ச்சியானவை, பல திறந்த கேள்விகள் உள்ளன;சிறந்த நிரூபணம் இல்லாதவைகள். காலப்போக்கில், சில சிக்கலான வழிமுறைகளின் மூலமாகவோ, அல்லது தொழில் நுட்பயுக்திகளாலோ, போலி அசீர்மை தன் இடத்தை அடையலாம்.
இந்தியாவில், கணித அறிவு வானியல் தொடங்கி இசை ஓவியம் என்று கலைகளிலும் பரிமளித்திருக்கிறது. கடபயாதி சங்க்யா என்னும் முறை, எண்ணும் எழுத்தும் இணைந்த ஒன்று. மேளகர்த்தா ராகங்களைச் சொல்லவும், இது பயன்பட்டிருக்கிறது. இயற்கை கூறுகளை சொல்வதற்கு பூத சங்கியா என்ற எண் கணிதம் பயன்படுத்தப்பட்டிருக்கிறது. லீலாவதி என்ற கணித புத்தகம் சங்கலிகா என்ற முறையில் பல தொடர் எண்களின் கூட்டுத் தொகைகளை எளிதாகக் கண்டுபிடிக்கும் வண்ணம் சமன்பாடுகளைத் தந்திருக்கிறது, அதாவது 1+2,1+2+3,1+2+3+4,1+2+3+4+5….. என்று எத்தனை இலக்க எண்களின் கூட்டுத்தொகையையும் எளிதாகக் கண்டுபிடிக்கும் சூத்திரத்தை தந்திருக்கிறது
இந்தக் கட்டுரை தேற்றக் கணிதத்தின் உதவியோடு, தர்க்க பூர்வமான நிரூபணங்களைத் தேடி அதில் ஒரு வலுவான விஷயத்தை கண்டெடுத்திருக்கிறது
இது முக்கியமாக வங்கிகளுக்கும் நிதி நிறுவனங்களுக்கும் பயனுள்ள செய்தி. குவாண்டச் சிக்கலில் ஒரு சிறு ஒளி பாய்ச்சி இருக்கிறது என்று தோன்றுகிறது.
எண்ணும் எழுத்தும் கண்ணெனத்தகும்.
உசாத்துணை: https://www.scientificamerican.com/article/these-numbers-look-random-but-arent-mathematicians-prove/