இந்துக் கடவுள்களுக்கு ஆயிரம் பெயர்கள் உண்டு. சிவ சகஸ்ரநாமம், விஷ்ணு சகஸ்ரநாமம், லலிதா சகஸ்ரநாமம் என்பவை சில. இதில் விஷ்ணு சகஸ்ரநாமத்தில் ஒரு சுவையான உரையாடல் இருக்கிறது. பார்வதி தேவி சிவனிடத்தில் கேட்கிறார்: ‘ஆயிரம் பெயர் சொல்ல பலரால் இயலாது. அவர்களுக்கும் நற்பயன் கிடைக்க வழி சொல்லுங்கள்.’

சிவன் ‘ஸ்ரீ ராம ராம ராமேதி ரமே ராமே மனோரமே சகஸ்ரநாம தத்துல்யம் ராம நாம வரானனே.’ அதாவது, மூன்று முறை இராமரின் பெயரைச் சொல்பவர்களுக்கு ஆயிரம் பெயர்களைச் சொல்லி வழிபட்ட பலன் கிடைக்கும் என்று பதில் சொல்கிறார். கம்பனும் ‘இம்மையே இராம என்னும் இரண்டெழுத்தால்’ என்று பாடுகிறார். நாம் வியாசரின் சந்த நடையைச் சுவைக்கும் வேளையில் அதில் பொதிந்துள்ள கணிதத்தைப் பார்ப்போமா? य र ल.. प फ ब भ म  இந்த எழுத்து வரிசைகளில் ‘ர’ என்பது ய வரிசையில் 2-வது எழுத்து , ‘ம’ என்பது ப வரிசையில் 5-வது எழுத்து. ராம என்பதை (र /म) 2×5 என்று மூன்று முறை அதாவது 10×10×10 =1000 என வந்து விடுவதுதான் இதன் அழகு.

‘எண்ணெண்ப ஏனை எழுத்தென்ப இவ்விரண்டும் கண்ணென்ப வாழும் உயிர்க்கு’ என்கிறது திருக்குறள்.

ஆமாம், உங்களுக்குப் பிடித்த எண் எது? சிலருக்கு முழு எண்கள் பிடிக்கும், சிலருக்கு விகிதமுறா எண்,(Irrational numbers) (π) பையைப் பிடிக்கும் சிலருக்கு, ஆய்லர் (euler) எண் (e) சிலருக்கு. நம் பேச்சு வழக்கிலும் கூட ஓருயிர், ஈருடல், முத்தமிழ், நான்கு திசைகள், ஐந்து பூதங்கள், ஆறுமுகன், ஏழு ஸ்வரங்கள், எட்டு இலட்சுமிகள், ஒன்பது கோள்கள் என்று எண்ணையும் இணைக்கிறோம். 13 நல்ல எண் இல்லை என்று பரவலாகக் கருதப்படுகிறது. டக்ளஸ் ஆடம்ஸ் (Douglas Adams) ‘விண்மண்டலத்திற்கு ஹிட்ச்ஹைக்கரின் வழிகாட்டல்’ (The Hitchhiker’s guide to Galaxy) நாவலின் மூலம் 42 என்ற எண்ணை பெரும் புகழடையச் செய்தார்

நம் கணித மேதை இராமானுஜனை, இலண்டன் மருத்துவமனையில் சந்திக்க வந்த கணித வல்லுனரான ஜி ஹெச் ஹார்டி, தான் வந்த வாடகைக் காரின் எண் 1729 மிகவும் சலிப்புத்தரும் ஒன்று என்று சொன்னார். இராமானுஜன் உடனே சொன்னார் : “அது ஆர்வமூட்டும் ஒரு எண். அதுதான், இரு கனசதுரங்களின் (cubes) கூட்டுத் தொகையாக, இரு விதங்களில் சொல்லப்படக் கூடியவற்றில் மிகச் சிறிய எண் என்று சொல்லி இவ்வாறு விளக்கினார். 1³+12³ = 1729; 9³+10³= 1729.” ஒரு எண், தன்னளவில் ஈர்ப்பு ஏற்படுத்தாத ஒன்று, இரு மாறுபட்ட வழிகளில், இரண்டு விதமான நேர்மறை எண்களால் விளக்கப்பட்ட விதம் அருமை. ‘ஃப்யூச்சுராமா’ (Futurama) தொடரில், வரும் ஒரு ரோபோவின் எண் 1729.  அதைப் போலவே, ஃபார்ன்ஸ்வொர்த் பேராபாக்ஸ் (Farnsworth Parabox) தொடரில் அதன் பாத்திரங்கள் பல்வேறு உலகங்களில் குதிப்பார்கள். உலகம் 1729 என்று பெயரிடப்பட்டதும் அவற்றில் ஒன்று. 87539319 என்பது மூன்று வழிகளில், இரண்டு கனசதுரங்கள் கொண்டு அடையப்படும் சிறிய எண் என்று சொல்கிறார்கள்.

ஒரு எண், ஆர்வமூட்டாமல் இருக்கக்கூடுமா என இப்போது சிந்திக்கத் தொடங்கிவிட்டீர்கள் அல்லவா? தூண்டக்கூடிய ஆர்வமற்ற ஒரு எண், அதன் அந்தக் குணத்தினாலேயே ஆர்வத்தை ஏற்படுத்துகிறது என்பது ஒரு தன்முரண்தான். நியாயமான முறையில், ஒரு எண்ணின் குண ஈர்ப்பை அறியலாம்; 2009-ல் நடந்த ஒரு ஆய்வின் படி இயற்கையான நேர்மறை எண்கள் இரு மாறுபாட்டைக் காட்டுகின்றன- ஆர்வமூட்டுபவை, சலிப்பு தருபவை. 

‘எண் வரிசைகளின்’ கலைக்களஞ்சியம் எதிரெதிரான இந்த இரண்டையும் பற்றி ஆய்வு செய்வதற்கு உதவுகிறது. 1963ல் தன் முனைவர் படிப்பில் ஈடுபட்டு இருந்த போது இப்படி ஒரு தொகுப்புத் தேவை என நீ(ய்)ல் ஸ்லோன் (Neil Sloane) நினைத்தார். மர வலைப்பின்னல் (Tree Network) என்று சொல்லப்படும் ஒரு வரைபடத்தில், மதிப்பீட்டு உயரங்களை அவர் அளக்க வேண்டியிருந்தது. அவருக்கு 0, 1, 8, 78, 944,… என்ற எண் தொடர் வந்தது. இந்த வரிசையின் எண்களை எப்படிக் கணக்கிட வேண்டுமென அப்போது அவருக்குத் தெரியாததால், தன்னுடன் பணியாற்றும் இத்துறையைச் சார்ந்த எவருக்கேனும் இந்த அனுபவம் ஏற்பட்டதா என்று வினவினார். சூத்திரங்கள், மடக்கை (லாகிருதம்- அட்சர கணிதம்) போலல்லாமல், எண் வரிசைகளுக்கான பதிவேடுகள் இல்லை என அறிந்து கொண்டார். சுமார் 10 வருடங்கள் கழித்து, ‘முழு எண் வரிசைக் கையேடு’ (A Handbook of Integer Sequences) என்ற பட்டியலை வெளியிட்டார். அதில் 2400 எண் வரிசைகள் இடம் பெற்றன; சில கணக்கீடுகளுக்கு உதவியாகவும் இருந்தன. ஸ்லோனின் ரசிகர் ஒருவர் சொன்னார் ‘பழைய சுவிசேஷம், புதிய சுவிசேஷம், இந்தக் கையேடு’. இது நல்ல வரவேற்பைப் பெற்றது. தொடர்ந்த ஆண்டுகளில் அதிக அளவில் எண்வரிசைகள் அவருக்கு பிறரிடமிருந்து வரத் தொடங்கின. இதனால் தூண்டப்பட்ட ஸ்லோன், தன் சகப்பணியாளரான  சீமோன் ப்ளூஃப்ஃபுடன் (Simon Plouffe) இணைந்து, 5500 எண் வரிசைகள் கொண்ட ‘முழு எண் வரிசைகளின் கலைக்களஞ்சியத்தை’ (The Encyclopaedia of Integer Sequences) 1995ல் வெளியிட்டார். இது விரிவாகிக்கொண்டே போயிற்று. 1996-ல் இணையம் இத்தகைய விரிவான ஒன்றை உள்ளடக்கி ‘நிகழ்நிலை முழு எண் வரிசைகளின் கலைக்களஞ்சியத்திற்கு’ வழி கோலியது. மார்ச் 2023 நிலவரப்படி இதில் 3,60,000க்கும் மேற்பட்ட பதிவுகள் உள்ளன.  யார் அனுப்பும் எண் வரிசைகளும் சேர்க்கப்படுகின்றன- அனுப்புபவர், இந்த வரிசை எப்படி உருவாயிற்று, ஏன் ஆர்வமூட்டும் வண்ணம் இருக்கிறது,, சில விளக்க உதாரணங்கள் இவற்றையும் இணைத்து விண்ணப்பிக்க வேண்டும். ஏற்றுக் கொள்ளப்பட்டால், உங்கள் காலரை தூக்கிவிட்டுக் கொள்ளுங்கள். நீங்கள் ஸ்ரீநிவாச இராமானுஜரின் வழியில் வந்தவர்!

பெரிதும் அறியப்பட்ட எண் வரிசைகள் 2,3,5,7,11… இருக்கின்றன; எண் இரண்டின் சதுர எண்கள் 2,4,8,16, 32… இருக்கின்றன; பிபனாச்சி வரிசைகள் 1.1.2.3,5,8,11.. இடம் பெற்றுள்ளன. கவர்ச்சியான வரிசைகளும் உள்ளன- நிலைத்த கோபுரம் கட்ட இரண்டும், நாலுமான அளவீட்டில் ஒரு எண்வரிசை இப்படி இருக்கிறது- 1,24,1560,1,19,580,…. ஒரு அப்பத்தை பலகோணங்களில், எண்களைக் கொண்டு, உச்சபட்சமாக எத்தனை துண்டுகளாகப் போடலாம் என்று இந்த எண் வரிசை சொல்கிறது-1,2,4,7,11,16,22,29.. இதை ‘சோம்பேறி சமையல்காரர் வரிசை’ என்று செல்லமாகச் சொல்கிறார்கள்.

130 நபர்கள் இத்தகைய வரிசைகளை பரிசீலிக்கிறார்கள்; பல ஆண்டுகளாகப் பயன்பாட்டில் இது இருக்கிறது; எண்களின் பிராபல்யத்தைக் காட்டும் விதத்தில் இது கணித ஆர்வலர்களைக் கவர்கிறது. இந்த வரிசைகளில் அதிகமாகத் தொடர்ந்து இடம் பெறும் எண்கள், இயல்பாகவே அதிக ஆர்வத்தைப் பெறுகின்றன.

ஃப்ரெஞ்ச் மொழியில் டாக்டர் கூலு (Dr. Goulu) என்ற வலைப்பதிவு (Blog) எழுதி வரும் பிலீப் கூ(க்)லியெல்மெட்டி  (Philippe Guglielmetti) மேற்சொன்னவாறுதான் கருதி வந்தார். ஒருமுறை ஒரு கணித ஆசிரியர் அவரிடம், ‘1548 என்பது தன்னிச்சையான, சிறப்புத்தன்மை இல்லாத எண்’ என்று சொன்னார். கலைக்களஞ்சியத்தில் இது 326 முறை பட்டியலிடப்பட்டிருக்கிறது. ஒரு எடுத்துக்காட்டு: அகலம்  ‘n’ கொண்ட சுழல் உலகத்தில் விதி எண் 110படி தானியங்கி (Automation) ஒற்றை அணுவின்/ செல்லில் முடிவில் இதை அறியலாம். அதென்ன விதி எண் 110? நிலைப்பிற்கும், குழப்பத்திற்குமான எல்லைக்கோட்டிற்குள் இயங்கும் அடிப்படையான ஒரு தானியக்கம் இது. குறிப்பிட்ட இடத்தில் எழும் கட்டமைப்புகள், தங்களுக்குள் சிக்கலான விதங்களில் வினைபுரிகின்றன. இந்த விதி எண் 110 ‘டூரிங் முழுமை’ (Turing Complete) என்று அறியப்படுகிறது. எந்த ஒரு டூரிங் இயந்திரத்திலும் ஒற்றைப் பரிணாமத்தில் இரட்டை நேரியல் நேரம் மற்றும் (One dimensional 2-Linear Time and Display) காட்சிப் படலை, கணினி அறிவியலாளர்கள் இதன் அடிப்படையில் தொடங்கினர். ரேகைப் பதிவு (Finger Print) முதலான கணினி சார் முறைகளில் இந்த விதி எண் செயல்படுகிறது. 

பிலீப் கூ(க்)லியெல்மெட்டி, சலிப்பு தரும் எண்கள் உள்ளனவா என்று நிகழ்நிலை எண் கலைக்களஞ்சியத்தில் ஆராய்ந்தார். 20,067 என்ற மீச்சிறு எண் பட்டியலில் இல்லை. (தகவல் தரவுக் கோப்பு, முதல் 180 வரிசைகளைச் சேமிக்கும். ஆயினும், அனைத்து நேர்மறை எண்களும் இதில் இடம் பெறும். இதில் வேடிக்கை என்னவென்றால் 20,067 சலிப்பூட்டும் எண், அதை அடுத்து வரும் 20,068க்கு ஆறு பதிவுகள் உள்ளன. (பத்துக்கு மேலாடை பதினொன்றே ஆகும்!) சலிப்பூட்டும் எண்களுக்கான விதி முறைகள் என எதுவும் இல்லாததால், 20,067 இனி தன் நிலையில் முன்னேற்றம் காணலாம்.

பிலீப் இயற்கை எண் வரிசைப் பதிவுகளை கலைக்களஞ்சியத்திலிருந்து எடுத்து அவற்றை வரைபடத்தில் பதிந்தார். அது அகன்ற வளைவில், மிகப் பெரும் மதிப்புக்களை நோக்கிச் சரிந்த புள்ளிகளின் மேகமாக இருந்தது. இது எதிர்பார்க்கக்கூடியதுதான். ஏனெனில் வரிசை, முதல் பதிவுகளிலிருந்து தானே துவங்குகிறது? ஆனால், அந்த வளைவுகளில், இரு அலைகள் இருந்தன; அவற்றின் இடையே கண்களுக்குத் தென்படும் விதத்தில் இடைவெளி இருந்தது. இந்த இடைவெளி நீல் ஸ்லோனின் நினைவாக ‘ஸ்லோன் கேப்’ (Sloane Gap) என அழைக்கப்படுகிறது. எனவே, சில எண்கள் அடிக்கடியும், சில எண்கள் அரிதாகவும் அந்தக் கலைக்களஞ்சியத்தில் இடம் பெற்றுள்ளன எனத் தெரிய வந்தது.

சைன்டிஃபிக் அமெரிகனின் உடன் பிறவா சகோதரியான (!) ஃப்ரெஞ்ச் இதழில் (போர் ல ஸான்ஸ்) அறிவியல் கட்டுரைகளை எழுதி வரும் ஜான் பால் டுலாயிடம் (Jean Paul Delahaye) தன் வியப்பை பிலீப் பகிர்ந்து கொண்டார். இதைப் பற்றி முன் ஆய்வுகள் உள்ளனவா என அவர் அறிய விரும்பினார். அப்படி எதுவும் இல்லாததால், டுலாய், தன் நண்பர்கள் நிகோலஸ் கௌவ்ரி, (Nicolas Gauvrit) ஹெக்டர் ஜீனெல் (Hector Zenil) ஆகியோருடன் இதை  நுணுக்கமாக ஆராய்ந்தார். அவர்கள் வழிமுறைத் தகவல் தேற்றம் (Algorithmic Information Theory) தரும் முடிவுகளை உபயோகித்தனர். ஒரு வெளிப்பாட்டு சிக்கல்களை (Complexities in output) அளப்பதற்கு, அதை விளக்கும், குறைந்த நீளமுள்ள வழிமுறையைப் பயன்படுத்துவது என்பது இந்தத் தியரி. உதாரணத்திற்கு, 47,934 என்ற எண்ணை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். இதன் ஒவ்வொரு எண்ணின் வரிசைகளையும் விளக்குவது சற்றுக் கடினம்; அதே நேரம் 16384 என்ற எண்ணை 2¹⁴ என்று எளிதாக வரிசைப் படுத்தலாம். தகவல் தியரியின் ஒரு கோட்பாட்டின்படி, நிறைய அம்சங்கள்/ குணங்கள்/ தன்மைகள் கொண்ட எண்களில் சிக்கல் அதிகமாக இருக்காது. அதாவது, எது அடிக்கடி இந்தக் கலைக்களஞ்சியப் பட்டியலில் இடம் பெற்றுள்ளதோ, அவை, ஒரு வேளை விளக்குவதற்கு எளிமையாக இருக்கக்கூடும்.

டுலாய், நிகோலஸ் கௌவ்ரிட், ஹெக்டர் ஜீனெல் மூவரும் தகவல் தியரி சொல்லும் இயற்கை எண்களின் சிக்கல் பாதையை ஒத்து பிலீப் கண்டடைந்த வரைபட வளைவு உள்ளது என்பதை நிரூபித்தனர். ஆயினும், இது அந்த இடைவெளியை நிரூபிக்கவில்லை.

சமுதாயம் சில எண்களை விரும்புவதால், இந்த இடைவெளி வரலாம் என்று அவர்கள் சொன்னார்கள். இதை நிறுவுவதற்காக அவர்கள் மான்டெ கார்லோ உருவகப்படுத்துதலை (Monte Carlo Simulation) எடுத்துக் கொண்டார்கள். சிறு எண்களின் வெளியீடு, பெரிய எண்களின் வெளியீட்டை விட அதிகமாக இருக்கும் விதத்தில், இயற்கை எண்களை இயற்கை எண்களோடு வரைபடமாக்கினார்கள். அந்தச் செயல்பாட்டில் சீரற்ற மதிப்புகளை (Random Values) அளித்து, அவற்றின் அலைவரிசைகளுக்கேற்ப பதிவு செய்தார்கள். அந்தக் கலைக்களஞ்சியத் தரவுகளைக் கொண்டு வரைந்த வரைபடத்தைப் போலவே, இதுவும் தெளிவற்ற, சரியும் வரைபடத்தைக் காட்டியது. தகவல் தியரி பகுப்பாய்வு போலவே, இதிலும் இடைவெளி பற்றிய தெளிவில்லை.

இடைவெளி எப்படித் தோன்றுகிறது என்பதைப் புரிந்து கொள்ள, எந்த எண் எந்த அலையில் உள்ளது என்பதை அறிய வேண்டும். ஸ்லோனின் இடைவெளி, 300 வரைக்குமான சிறு எண்களில் அவ்வளவாகப் புலப்படவில்லை. பெரும் எண்களில் இந்த இடைவெளி குறிப்பிடத்தகுந்த அளவில் தென்படுகிறது. சுமார் 18%, 300லிருந்து 10,000 வரை ஆர்வமூட்டும் வகையில் இடம்பெற, மீதமுள்ள 82% சலிப்பு எண்களாகின்றன. இந்த ஆர்வமூட்டும் எண்களில் 95.2% சதுர எண்கள்; 99.7% முதன்மை எண்கள்; 39% எண்கள் முக்கியத் தன்மைகள் கொண்டவை.

ஒரே அளவிலான சிக்கல் இருக்கும் எண்களில், சில மதிப்புகள் தூண்டலைத் தருவதாக கணிதவியலாளர்கள் கருதினால், அது இந்த இடைவெளிக்கு இட்டுச் செல்லும் என்று இந்த மூவர் அணியினர் சொல்கின்றனர். 2n + 1 and 2n + 2 இரண்டுமே சம அளவு சிக்கல் கொண்டவை; இருப்பினும், தகவல் தியரியின்படி முதல் சூத்திரம்  ஆர்வமூட்டுவது; இது முக்கிய எண்களை ஆராய உதவுகிறது; பல தருணங்களில் பயனாகிறது.

ஆர்வமூட்டும் எண்கள், சலிப்பூட்டும் எண்கள் எல்லாம் நம் அணுகுமுறையை, நம் தீர்ப்பைப் பொறுத்து அமைகின்றன. உங்களுக்குப் பிடித்தமான எண் எது என்ற கேள்விக்கு, படைப்பூக்கம் மிக்கதான, 20,067 போன்ற, கலைக்களஞ்சியத்தில் இடம் பெறாத ஒரு எண்ணைச் சொல்லி அசத்துங்கள்.

தங்க விகிதம் பற்றி உங்களுக்குத் தெரியும். அது 1.618…. என்று போய்க்கொண்டே இருக்கும். இது இயற்கையில் காணப்படும் அற்புத விகிதம். கிடைமட்டத்தில் இருக்கும் தகவல்களை நம் கண்கள், நெடுக்குவாட்டில் இருக்கும் தகவல்களைப் படிப்பதை விட 1.5 மடங்கு வேகத்தில் செய்கின்றன. கண்களும், மூளையும், இயற்கையில் காணப்படும் இந்தத் தங்க விகிதத்தைக் கொண்டுள்ள காட்சிகளில், இதனால் அவற்றை எளிதாக உள்வாங்குகின்றன.

எண் 9 என்பது உலகப் பொது எண். குறிப்பாக இந்தியர்களுக்கு 9 அதிசிறப்பு வாய்ந்த ஒன்று. வேதங்களின்படி மனித ஆண்டுகள் 360 எனச் சொல்லப்படுகிறது. 360ன் கூட்டுத் தொகை 9. அது மட்டுமல்ல, நான்கு யுகங்களின் கூட்டுத்தொகையும் அதேதான். எப்படி என்று பார்ப்போம்.

ஒரு கல்பம் என்பது ஆயிரம். சதுர் யுகங்கள் 12,000 தெய்வீக ஆண்டுகள். அதை மனித ஆண்டான 360ல் பெருக்கினால் கிடைப்பது 43,20,000 சூர்ய ஆண்டுகள்.

யுகம்	தெய்வீக ஆண்டு	சூர்ய ஆண்டு
க்ருத யுகம்	4800	17,28,000
யுக சந்தி	400	1,44,000
யுகம்	4000	14,40,000
யுக சந்தி	400	1,44,000
த்ரேதா யுகம்	3600	12,96,000
யுக சந்தி	300	1,08,000
யுகம்	3000	10,80,000
யுகசந்தி	300	1,08000
துவாபர யுகம்	2400	8,64,000
யுக சந்தி	200	72,000
யுகம்	2000	7,20,000
யுக சந்தி	200	72,000
கலியுகம்	1200	4,32,000
யுக சந்தி	100	36,000
யுகம்	1000	3,60,000
யுக சந்தி	100	36,000

நான்குயுகங்களின் கூட்டு= 4800+3600+2400+1200= 12,000

சூர்ய ஆண்டுகளின் கூட்டு =43,20,000

ஒரு கல்பத்தில் ஆயிரம் என்ற எண்ணால் இது பெருக்கப்படுகையில், 4,32,00,00,000 ஆண்டுகள் என்ற கணக்காகிறது.

இந்தக் கணக்கை ரிக் வேதம் ஒரு சிறுசெய்யுளால் சொல்கிறது .So, let the Brahman hear the praise we utter: This has 4 horned buffalo emitted; 4 are his horns, 3 are the feet that bear him; his heads are 2; hands 7 in number. That is 4,3,2 and 10⁷= 4,32,00,00,000.

எதன் பெயரிலோ, எதையோ இனியும் இழக்காமல் இருப்போம். அறிவு என்பது பொது, ஆற்றல் என்பது அதன் மூலம் வளர்வது. சிந்திப்போமா?

உசாவிகள்:

விஷ்ணு சகஸ்ரநாமம், ரிக் வேதம்

கட்டுரையின் மூலம்:

https://www.scientificamerican.com/article/the-most-boring-number-in-the-world-is/      by Manon Bischoff dt 03/03/2023