மகரந்தம்- குறிப்புகள்

எண்களின் காதலர்

                                             ஸ்ரீநிவாச இராமானுஜன் ( 22/12/87 –26/04/1920)

பழைய திரையிசைப் பாடல் ஒன்று ’படித்ததினால் அறிவு பெற்றோர் ஆயிரம் உண்டு;  பாடம் படிக்காத மேதைகளும் பாரினில் உண்டு.’

“நான் பல்கலையில் வழக்கமான முறையில் பயிலவில்லை. எனக்கென ஒரு தனித்த வழிமுறையைக் கொண்டேன். பலதரப்பட்ட எண்களையும் தேற்றங்களையும் என்னிடமிருந்து பெற்ற கணக்கியலர்கள் அவற்றை அற்புதம் என்று சொல்கிறார்கள்,” ஸ்ரீனிவாசன் இராமானுஜன் சொன்னது இது. தான் வாழ்ந்த காலத்தில் பலர் விடை அறிந்திராத கணிதப் புதிர்களை அவர் ஆய்வு செய்து கொண்டேயிருந்தார். அவரது கணிதம் அவர் மறைந்து நூற்றாண்டுகள் ஆகியும் பல துறைகளில் பயன்படுகிறது என்பது மிகவும் வியப்பிற்குரிய செய்தி.

லியொனார்ட் ஆய்லர் மற்றும் கார்ல் ஜாகோபி இருவர் தான் உலகளவில் புகழ்பெற்ற கணித மேதைகளாக இராமானுஜன் பிறக்கையில் அறியப்பட்டார்கள். பத்து வயது சிறுவனாக அவர் முக்கோணவியல் புத்தகங்களை முழுமையாகப் படித்தது மட்டுமல்லாமல்,  வெறும் தேற்றங்களாக இருந்தவற்றிற்கும் விளக்கமளித்தார். பள்ளியின் பல வகுப்புக்களுக்கான நேர அட்டவணையை வடிவமைத்துக் கொடுத்தார். மேல் வகுப்புகளுக்குச் செல்லச் செல்ல அவருக்கு கணிதம் மட்டுமே முதன்மையானது. எஃப் ஏவில் தோற்றார். கல்லூரியிலும்,  பின்னர் வேலை பார்த்த அலுவலகங்களிலும் கணித சூத்திரங்கள்,  தேற்றங்கள், தொடர் பின்னங்கள் (continued fractions), பகா எண்களும்,  கலப்பு எண்களும் (Prime &Composite numbers),  எண் பிரிவினைகள் (Number Partitions),  நீள்வட்டத் தொகையீடுகள் (Elliptic Integrals) போன்றவற்றைத் தொடர்ந்து ஆராய்ந்தார். தம் கண்டுபிடிப்புகளை, சென்னைப் பல்கலையிலும்,  மாநிலக் கல்லூரியிலும்,  கணக்காளர் அலுவலகத்திலும்,  போர்ட் ட்ரஸ்டிலும் வேலையில் இருக்கையிலேயே அவர் கணித இதழ்களிலும், தனிப்பட்ட முறையில் சிங்கார வேலு முதலியார் போன்ற வல்லுனர்களுடனும் பகிர்ந்து கொண்டார்.

அவரது மேதமை முதலில் பலரால் ஏற்றுக் கொள்ளப்படவில்லை. ராமஸ்வாமி ஐயர்,  சேஷு ஐயர்,  ராமச்சந்திர ராவ், ஃப்ரான்ஸிஸ் ஸ்பிரிங், கில்பர்ட் லாக்கர்,  ஹனுமந்த ராவ், க்ரிஃபித் எம் ஜி எம் ஹில் ஆகியோர் பல சந்தர்ப்பங்களில் அவரது திறமை வெளிப்பட உதவியவர்கள். சுந்தரம் ஐயரின் சிபாரிசினால் சென்னை பல்கலைக்கழகம் அவரது ஆய்விற்காக மாதச் சம்பளம் கொடுத்து வந்தது.

அவரது தேற்றங்களை அவர் குறிப்பேடுகளில் எழுதினார். அவரைப் பற்றி ஒன்று சொல்வார்கள்;  வருமானம் அற்று இருந்த காலங்களோ,  பல்கலையில் தேர்ச்சி பெறாத நிலையோ அவரைக் கணிதத்திலிருந்து பிரிக்க முடியவில்லை. முழுமையான விளக்கங்கள் எழுத குறிப்பேடுகள் வாங்க இயலாததால், அவர்  ‘ஸ்லேட்’ எனும் எழுதுபலகையில் விடைகளுக்கான வழிமுறைகளைப் போட்டுப் பார்த்து இரத்தினச் சுருக்கமாக அவற்றை குறிப்பேடுகளில் பதிவு செய்தாராம்.

பலரின் தூண்டுதலால், இராமானுஜன் முதல் முறையாக ஜி. ஹெச். ஹார்டிக்கு ஒரு கடிதம் எழுதினார்;  அதில் தன்னைப் பற்றி சுருக்கமாகச் சொல்லிவிட்டு 120 தேற்றங்களை இணைத்து அனுப்பினார்.  ஹார்டிக்கும், லிட்டில் வுட்டிற்கும் இது ஏமாற்று வேலை என முதலில் தோன்றியதாம்;  ஆனால் அந்தச் சூத்திரங்கள்,  கோட்பாடுகள், அதில் அவர்களுக்குப் புரியாதிருந்த பல சூக்ஷ்மங்கள்,  அவர்கள் நிராகரித்த சில கோட்பாடுகள் போன்றன அவர்களின் ஆவலைத் தூண்டின.

ஆசார சீலரான இராமானுஜனை லண்டனுக்கு அனுப்பப் பெரும்பாடு படவேண்டியிருந்தது. அவர் அங்கே வசித்த நான்கு வருடங்கள் கணிதத் துறையின் பொற்காலம். 27 ஆய்வுக் கட்டுரைகளை இந்த நாலு வருடங்களில் அவர் சமர்ப்பித்தார்-இவற்றில் ஏழு ஹார்டியுடன் சேர்ந்து எழுதியது. 1918-ல் ஃபெலோ ஆஃப் ராயல் சொஸைடி (எஃப் ஆர் எஸ்) மற்றும் ட்ரினிடி கல்லூரியில் ஃபெலோஷிப் கிடைத்தது;  இவற்றைப் பெற்ற முதல் இந்தியர் மற்றும் தமிழர் இவரே.

எண்களின் காதலர். பகுவியல் (Anaysis), தொடர்வினை (continuous process), அடுக்குக்குறிச் சார்பு (exponential functions), கலப்பு மாறியின் மடக்கை (Log of complex variables), மிகைபர வளைவுச் சார்புகள் (hyperbolic functions), நுண்கணிதம் ( Calculus), முடிவிலாத தொடர்புகள் மற்றும் பெருக்கீடுகள் (infinite series and products) இவற்றில் இவரின் பங்களிப்பு அதி அற்புதமானது. (சிக்கலான கணிதங்களைச் சொல்லி பயமுறுத்தப்போவதில்லை.)

வாழ்ந்த 32 வயதுக்குள் அவர் சாதித்தது அதிகம்.  3542 தேற்றங்கள், 3 குறிப்பேடுகள் முழுவதும் கணிதக் கோட்பாடுகள், சென்னை பல்கலைக்காக எழுதிய மூன்று காலாண்டு அறிக்கைப் பத்திரங்கள், 32 ஆய்வுக் கட்டுரைகள் இவற்றிற்கெல்லாம் சிகரமாக அந்தத் ‘தொலைந்து போன நோட்புக்’.

1919-ல் காணாமல் போனது அது;  1976-ல்தான் கண்டுபிடிக்கப்பட்டு பின்னர் வெளியிடப்பட்டது. இதில் வியப்பிற்குரிய செய்தி ஒன்று உண்டு – அவரது ‘பார்டீஷனஸ் மற்றும் மாக் தீடா செயல்பாடுகள்’ கருந்துளைகள் பற்றிய ஆய்வில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.  இராமானுஜனின் எண் மற்றும் ஜியோமிதியின் தத்துவங்களுக்கும் ஸ்டீஃபன் ஹாக்கிங்கின் ‘ஸ்டிரிங்க் தேற்றத்திற்கும்’ இணைப்பு உள்ளது. நூற்றாண்டுகளுக்கு முன்னர் அவர் தந்த தூய கணிதம் இன்றைய நவீன ஆய்வுகளை மெய்பிப்பதற்கு உதவுகிறது.  கால வெளியின் குவாண்டம் அமைப்புகளைப் பற்றித் தெளிவான அறிதலுக்கு இவரின் எண் பிரிவினைகள் மிகவும் உதவியதாக அதீஷ் தபோல்கர் (இவரின் பெயர் வேறொரு தபோல்கரை நினைவிற்குக் கொண்டு வருகிறதா?ஆம்,  அவர் அதீஷுக்கு மாமா)  சொல்கிறார். அதீஷ் இத்தாலியின் ‘இன்டர்னேஷனல் சென்டர் ஃபார் தியரிடிகல் ஃபிஸிக்ஸ்’ என்ற மையத்தின் இயக்குனர்.  மாக் தீடா மற்றும் மாக் மாடுலர் ஃபார்ம்ஸ் கருந்துளை ஆய்வில் உபயோகப்படுத்தப்படுகின்றன.

எல்லாம் வானத்தில்தானா,  பூமியில் இல்லையா என்பதற்கும் இராமானுஜனிடத்தில் விடை கிடைக்கிறது. இயந்திரக் கற்றல்,  தகவல் தேற்றங்கள், குறியீட்டு முறைகள், டிஜிடல் தொடர்புகள், அவற்றில் தவறுகளைத் திருத்தும் குறியீடுகள், தரவுகளை அடக்கிக் குறுக்கல், நெட்வொர்க், சமிக்ஞை வெளியீடுகளைப் படித்தல், கணிணியின் சங்கீதம் (ஐ ம்யூசிக்கில் அவரது உள்வெளித் துணையிடம் – சப்-ஸ்பேஸ்) டி. என். ஏ மற்றும் புரதங்களைத் தொகுத்தல் என எங்கும் எதிலும் இவர் கணிதம் செயல்படுகிறது. எண் கால இடைவெளிகள் என்ற அவரது கணிதக் கோட்பாடு இவற்றில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. வலிப்பு நோய் உள்ளவர்களின் நோய்த்தன்மை பற்றிய உணர்த்துதலுக்கு அவருடைய ‘ஃபில்டெர் பேங்க்ஸ்’ உதவுகின்றன. தூய கணிதமானது வாழ்விற்கு உதவுவதில்லை என்று பரவலாகக் கருதப்பட்டவற்றை அவரது கணிதத் திறமைகள் தகர்ப்பதைப் பார்த்துக்கொண்டிருக்கிறோம்.

இறுதியாக அவரது புகழ் பெற்ற விந்தைச் சதுரங்களில் ஒன்று.

22 12 18 87
88 17 9 25
10 24 89 16
19 86 23 11

எல்லா வரிசைகளின் கூட்டு எண்  22+12+18+87=139

எல்லா காலங்களின் கூட்டுத் தோகை 22+88+10+19=139    

குறுக்கு எண்களின் கூட்டுத் தொகை 22+17+89+11=139 மற்றும் 19+24+9+87=139

நான்கு மூலை எண்களின் கூட்டுத் தொகை 22+87+19+11=139

நடு எண்களின் கூட்டுத் தொகை 17+9+24+89=139

இப்படி நிறையச் சொல்லலாம்.

இதில் கவனிக்க வேண்டிய ஒன்று முதல் வரிசையில் உள்ளது அவரது பிறந்த நாள் 22-12-1887. நம்முடைய பிறந்த நாளுக்கும் இப்படிச் செய்யலாம். அதன் சூத்திரத்தை சற்று கவனித்தால் புரியும்.

ஆன்மீக இராமானுஜன்,  நாத்திக ஹார்டி, கற்றல் என நாம் அறிவதை அதிகம் ஏற்காத ஒருவர்,  கல்வியும்,  திறமையும் நிரூபணங்களால் நிறுவப்பட வேண்டும் என்ற மற்றவர், நாமகிரித் தாயார் சொன்ன வழிமுறை என்ற ஒருவர்,  மூளையின் செயல்பாடு என நம்பிய மற்றவர் அந்தத் தோழமை,  அந்தப் புரிதல்,  அந்தப் பொறாமையற்ற தன்மை – கணிதத்தின் சிறப்போ.  காலத்தின் தேவையோ எது என்று எப்படிச் சொல்ல?

“கடவுளின் எண்ணத்தை வெளிப்படுத்தாத சமன்பாடு நான் பொருட்படுத்தத் தக்கதன்று”- இராமானுஜன்.  

(குறிப்பு : பானுமதி ந.)

***

அனுபவம், அறிவியல், கேள்விகள்

26-12-2019 அன்று வானில் ஒரு நெருப்பு வளையம். அது சௌதி, இந்தியா, சுமத்ராவில் தீ வளையமாகவும் மற்றும் ஆசியா,  ஆஸ்ட்ரேலியாவில் பாதி கிரஹணமாகவும் தெரிந்தது. காலை 8 மணிக்கு பகுதியாக பீடித்து பின்னர் கிட்டத்தட்ட முழுமையாக 9 மணிக்கு அதிகரித்து, 12. 30க்கு முடிவிற்கு வந்தது.  மேகமூட்டம் இல்லாமலிருந்த தென்னிந்திய பகுதிகளில் நன்கு காண முடிந்தது.  

விண்ணிற்கும்,  மண்ணிற்கும் பல தொடர்புகள், தகவல்கள், அறிதலும் அறியாததுமான விந்தைகள் எவ்வளவோ !நிலாவே வா என்போம்; நிலாவிற்கு வருகிறோம் என்போம். இரு பிரிவுகள் எல்லாக் காலத்திலும் உண்டு.

உலக்கையும்,  அம்மிக்குழவியும்,   எந்தப் பிடிமானமும் இல்லாமல் கீழே விழாமல் நின்ற அதிசயத்தைப் பரவலாக 26-12-2019-ல் நடைபெற்ற சூர்ய கிரஹணத்தின் போது பார்த்தோம்;  ஆரத்தியைக் கரைத்து அதில் உலக்கையை நிற்க வைத்தார்கள்; வெறும் தண்ணீரில்,  வெறும் சாலையில் பிடிமானமற்று அதை நிற்க வைத்த வீடியோ சமூக வலைத்தளங்களில் வைரலாகியது. அம்மிக்குழவி வெறும் தரையில் அம்சமாக நின்றது.  கிரஹணம் விட்டவுடன் அவை பூமியில் சாய்ந்தன. இதை வழி வழியாகச் செய்து வந்தார்கள் என்றும், பொது மக்கள் கிரஹணகாலத்தை இம்முறையில் அறிந்தார்கள் என்றும் சொல்லப்படுகிறது. உலகில் பல்வேறு நாடுகளில் கிரஹணம் நிகழ்கையில் இந்த அம்மி,  உலக்கை பரிசோதனையை நிகழ்த்த வேண்டும் என்று குரல்கள் கேட்கின்றன.

இதை மூட நம்பிக்கை என்று ஒதுக்கும் அறிவியலாளர்கள் இங்கு ஆவேசத்துடன் தங்கள் தரப்பை முன்வைக்கிறார்கள். அவர்கள் சொல்வது ஒன்றுதான்.  நிலவு,  சூரியன், பூமி ஆகிய இரண்டை விடச் சின்னது. சூரியனின் ஈர்ப்பு விசை மாறுபாட்டால் உலக்கை நிற்கும் அதிசயம் ஏற்படாது. உண்மையில் சூரிய ஈர்ப்பு சக்தி புவியில் எந்த மாறுதலையும் ஏற்படுத்துவதில்லை. ஒவ்வொரு விண்ணகப் பொருளும் ‘க்ரேவிடி’யினால் ஒன்றை ஒன்று பாதிக்கிறது. அதனாலெல்லாம் உலக்கை பிடிமானமற்று நிற்பதில்லை.

பூமி-சந்திரன் சுழற்சியும், பூமி சூரியன் சுழற்சியும் ஒரு கோணத்தில் இடையீடு செய்கையில் கிரஹணம் வரும். அப்படிப் பார்த்தால் ஒவ்வொரு அமாவாசை அன்றும் சூர்ய கிரஹணம் வரவேண்டும், பௌர்ணமியன்று சந்திர கிரஹணம்.  ஆனால்,  நேட்கோட்டில் இவை வரும் போது கிரஹணங்கள் ஏற்படுகின்றன. உலக்கை நிற்பதில் ஏதோஉள் தந்திரம் இருக்கிறது என்பது இவர்கள் வாதம்.

மேல் நாட்டு அறிஞர்கள் நம் ஆன்மீகம் நோக்கித் திரும்புகிறார்கள். நாம் நம் மூதாதையரைப் பழித்து ஒதுக்குகிறோம். சாதாரண மனிதன் செய்து பார்த்து வியக்கும் உலக்கை பரிசோதனை உங்கள் கண்களை ஏன் உறுத்துகிறது?உலகில்,  உண்மையாகப் பார்க்கப் போனால் ஓரிண்டு நூற்றாண்டுகளுக்கு முன்னர் வரை தத்துவயியலாளர்கள் விஞ்ஞானிகளாகத்தான் இருந்திருக்கிறார்கள். ’க்ரேவிடி’ மட்டுமே இதை விளக்காது.  அந்தக் கிரஹண நேரத்தில் ஏற்படும் காந்தப் புல விசையோ அல்லது மற்றக் கூட்டு ஃபோர்ஸ்களோ இதை ஏற்படுத்தவில்லை என்று நிரூபியுங்கள் என்கிறார்கள் அனுபவக் கூட்டத்தார். பறவைகள் அந்த சமயத்தில் அமைதியாக இருந்தனவே-அதற்கு என்ன சொல்கிறீர்கள் என்ற கேள்வியும் எழுகிறது. வராகமிஹிரர் ஆறாம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்தவர்.  அவர் கிரகங்கள் அனைத்து உயிரினத்தின் தலையெழுத்தை நிர்ணயிப்பதாகச் சொன்னவர்.  சிறந்த வானவியலாளரான அவர் ஜோதிடத்தை நம்பியவர், சொன்னவர்,  எழுதியவர். அவரது ப்ருஹத் சம்ஹிதை ஒரு பொக்கிஷம்; அதில் அவர் இரு கிரஹணங்களைப் பற்றிச் சொல்கிறார்.  சூரிய கிரஹணத்தின் போதுஅதன் பிம்ப வட்டத்தில் சந்திரன் வருகிறது. எனவே தான் சூர்ய கிரஹணம் கிழக்குப் பகுதியில் தொடங்குவதில்லை ; சந்திர கிரஹணத்தின் போது பூமியின் நிழல் விழும் பகுதிக்குள் சந்திரன் வருகிறது. எனவே அது கிழக்கில் தொடங்குகிறது. ஜோதிட அறிவியலாளரான அவர் கேது என்ற கிரகத்தை ஒத்துக்கொள்ளவில்லை, பாம்பு சூரிய சந்திரனை விழுங்கித் துப்புகிறது என்பதையும் மேற்கூறியவற்றால் அவர் மென்மையாக மறுக்கிறார்.

உலகில் என்றும் எரித்த கட்சி,  எரிக்காத கட்சி என்று உண்டு. விஞ்ஞானத்தின் மூலம் தெரிந்து கொள்ளலாம்; இந்த வானியல் நிகழ்வுகளைப் புரிந்து கொள்ளலாம். ஆனால்,  உலக்கை நிற்பதை ஒதுக்க முடியுமா? கிரஹண நேரத்தில் ஊனமுற்ற குழந்தைகளை கழுத்தளவு மண்ணில் புதைத்து அந்த நேரம் ஆனவுடன் மண்ணிலிருந்து எடுக்கிறார்கள்- அதைத் தடுக்க முயலலாம். ஆனால்,  முன்னவர்கள் மூடர்கள் என்று சிரித்துவிடக்கூடாது.  இன்றைய மருத்துவத்தில் ஒரு பகுதி காந்த சிகிட்சை, மற்றொன்று இயற்கை முறை வைத்தியம். ஐம்பெரும் பூதங்களின் படைப்பு இவ்வுடல், அவைகளே மருந்தாகக்கூடும் அல்லவா?

எது நம்பிக்கை, எது மூட நம்பிக்கை எப்படி அறிவது?உள்ளுணர்வைத் தொலைத்த மனிதனால் அது இயலாது.

‘போகும் வழியிலோர் பூனைதான்-எந்தப்

புறஞ் சென்றாலு முனக் கென்ன?

ஏகுங் காரியந்தனை விட்டே-மீள

வெண்ணுதலு மறிவின்மையாம்’

‘வான சாத்திரம் பழகுவாய்- இந்த

மண்ணி னியல்பை அறிகுவாய்

ஈனப் பொய் நூல்களைத் தூறுவாய்-வெறு

மேட்டுச் சுரைக் கறியாகுமோ?’

பிரும்மராயர் என்ற கவி சொல்லும் வழி இது.

சாதாரண மனிதன் தன் வசிப்பிடத்திலேயே இயன்றதைச் செய்து அறிவதைத் தடுக்க வேண்டாம்; அவன் ஆர்வத்தைத் தூண்டி அறிவியல் நோக்கைக் கொண்டு வரலாம்.  பூமியைவிட்டு வானத்தில் பறந்து சென்று கிரஹணங்களைப் பார்க்க அறிவியலாளர்களுக்கு மட்டுமே முடியும் அல்லவா?