“எல்லா அறிவியல் பிரிவுகளுக்கும் கணிதமே மகாராணி. ஆனால் எண்கணிதமே கணிதத்தின் மகாராணி” என்று புகழ் பெற்ற கணித மேதை காஸ் (Gauss) கூறியுள்ளார். அப்படிப்பட்ட எண் கணிதத்தில் இன்றைய ஆராய்ச்சியாளர்களுக்கு முன்னோடியாகத் திகழ்ந்தவர் இந்திய கணித மேதை இராமானுஜன் என்றால் மிகையாகாது. “ஒவ்வொரு நேர்மறையான முழு எண்ணும் (positive integer) இராமானுஜனின் தனிப்பட்ட நண்பர்கள்” என்ற டி.ஜெ. லிட்டில்வூட் (Littlewood) என்ற கணிதவியலாளரின் கூற்றுக்கிணங்க 1919 ஆம் ஆண்டு இராமானுஜன் இயல் எண்களைப் பற்றி எழுதி வைத்துச் சென்ற குறிப்பின் வீச்சும், பொருளும் அறிய ஏறக்குறைய 90 ஆண்டுகள் காத்திருக்க வேண்டியதாக இருந்தது.

அதனைக் கண்டறிந்தவர் அமெரிக்காவிலுள்ள எமோரி பல்கழகத்தைச் சேர்ந்த எண்கணித வித்தகர் கென் ஓனோ (Ken Ono). கென் ஓனோவின் தந்தை தகிஷோ ஒனோவும் ஓர் எண் கணித ஆராய்ச்சியாளர். இராமானுஜன் நினைவாக அவருக்கு நெஞ்சளவு உள்ள சிலை செய்வதற்கு டாலர் 25 நன்கொடையாகக் கொடுத்தார். அதற்கு நன்றி தெரிவித்து இராமானுஜனின் மனைவி ஜானகி அம்மாள் எழுதிய கடிதத்தில் இருந்த இராமானுஜனின் படத்தைப் பார்த்து இராமனுஜனைப் பற்றி அறிய ஆவல் கொண்டார் கென் ஓனோ. இராமனுஜனைப் பற்றி கிடைக்கப் பெற்ற தகவல்கள் முழுதும் படித்து அதனால் ஈர்க்கப்பட்டு, தன் தொழிலாக எண்கணித ஆராய்ச்சியைத் தேர்ந்தெடுத்தார். இன்று கணித வரலாற்றில் நீங்காத இடமும், என்றும் மறையாத புகழும் பெற்று ஜொலிக்கிறார்.

ஒரு நாள் கிரிக்கெட் போட்டியில் 4 ஓட்டங்கள் எடுத்தால் வெற்றி என்ற நிலையிலுள்ள அணி சரியாக 4 ஓட்டங்களை எடுத்து வெற்றி பெற்றால் அந்த ஓட்டங்களை எப்படியெல்லாம் பெற முடியும் என்று பார்ப்போம். ஒரே பந்தில் 4 ஓட்டங்கள் அல்லது மூன்று ஓட்டங்கள் மற்றும் ஒரு ஓட்டம் (3+1), அல்லது இரண்டு, இரண்டு ஓட்டங்கள் (2+2) அல்லது இரண்டு ஓட்டங்கள் மற்றும் இரண்டு ஒரு ஓட்டங்கள் (2+1+1) இல்லையெனில் நான்கும் ஒரு ஓட்டங்கள் (1+1+1+1) என ஐந்து விதமாக இந்த ஓட்டங்களை எடுத்து வெற்றி பெறமுடியும். அதாவது 4 என்ற இயல் எண்ணை மற்ற இயல் எண்களின் கூட்டுத் தொகையாக 5 வெவ்வேறு விதமாக எழுத முடிகிறது(எந்த வரிசையில் கூட்டுத் தொகையை எழுதுகிறோம் என்பதைக் கணக்கில் கொள்ள வேண்டியதில்லை). இதைத்தான் கணிதத்தில் பிரிவினைகள்(partitions) என்று கூறுகிறார்கள்.

முதல் இயல் எண்ணான ஒன்றை 1 = 1 என்று மட்டுமே எழுத முடியும். ஆனால் இரண்டை 2 = 2, 2=1+1 என்று இரண்டு விதமாக பிரித்து எழுதலாம், 3=3, 3=2+1, 3=1+1+1 என்று மூன்றை மூன்று விதமாக பிரித்து எழுத முடிகிறது.

5=5, 5=4+1,5=3+2, 5=3+1+1, 5=2+2+1, 5=2+1+1+1 5=1+1+1+1+1 மற்றும்

6=6, 6=5+1, 6=4+2, 6=4+1+1, 6=3+3, 6=3+2+1, 6=3+1+1+1, 6=2+2+2, 6=2+2+1+1, 6=2+1+1+1+1, 6=1+1+1+1+1+1 என

ஐந்து மற்றும் ஆறை முறையே 7 மற்றும் 11 விதமாக பிரித்து எழுதலாம். ஒவ்வொரு கூட்டுதொகையையும் அந்த இயல் எண்ணின் பிரிவினை (partition) என்று அழைக்கிறோம். எந்த ஒரு இயல் எண்ணையும் எத்தனை விதமாக மற்ற இயல் எண்களின் கூட்டுத் தொகையாக எழுத முடியும் என்பதைத்தான் அந்த இயல் எண்ணின் பிரிவினைகள் (partitions ) என்று அழைக்கிறோம். அதனை p(n) என்று கணிதத்தில் குறிப்பிடுவார்கள். P(0)=1 என எடுத்துக் கொள்வது வழக்கம். அப்படியானால், p(0)=1,p(1) =1, p(2)=2, p(3)=3, p(4)=5, p(5)=7, p(6)=11,.. என்று இந்த வரிசை நீளும். இதையே, குறிப்பாக 5=3+1+1 என்ற பிரிவினையை,

3 • • •
1 •
1 •

என்று காட்சி சார்ந்து பார்க்கவும் முடியும். இதற்கு Ferrers Diagram என்று பெயர். முதல் 8 இயல் எண்களின் Ferrers Diagrams கீழேயுள்ள படத்தில் காணலாம்.

கேள்வி: கொடுக்கப்பட்ட இயல் எண்ணுக்கு எத்தனை பிரிவினைகள் இருக்கும்? அதாவது, n என்ற இயல் எண்ணுக்கு p(n) = ?

இதுவரை நாம் கண்டறிந்த p(n) மதிப்புக்களில் இருந்து இந்தக் கேள்விக்கான பதில் மிக எளிதானதாக இருக்கும் என்று ஊகிக்கிறீர்களா? ஆனால் இதற்கான விடை சுலபமாக கிடைக்கவில்லை. ஏனெனில் இயல் எண் n இன் மதிப்பு அதிகரிக்க, அதிகரிக்க p(n) இன் மதிப்பு கட்டுக்கடங்காமல் அதிகரிக்கிறது. p(n) மதிப்புக்கள் கொண்ட தொடரை பாருங்கள்.

1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135, 176, 231, 297, 385, 490, 627, 792, 1002, 1255, 1575, 1958, 2436, 3010,…. ….169229875, …………

குறிப்பாக,

p(1000) = 24,061,467,864,032,622,473,692,149,727,991

கீழேயுள்ள வரைபடத்தைப் பார்த்தால் இந்தக் கேள்விக்கு விடை அறிவது எவ்வளவு கடினம் என்பது புலப்படும்.

(நன்றி:http://www.tikalon.com/blog/blog.php?article=2011/partitioning)

கேள்வியை மீண்டும் பார்ப்போம்: கொடுக்கப்பட்ட ஒரு இயல் எண்ணுக்கு எத்தனை பிரிவினைகள் இருக்கும்? அதாவது, n என்ற இயல் எண்ணுக்கு p(n) = ?
இந்தக் கேள்விக்கு முதல் பதிலைக் கொடுக்க முனைந்தவர் கணித மேதை ஆய்லர். ஆய்லர் கொடுக்கப்பட்ட n என்ற இயல் எண்ணுக்கு எத்தனை பிரிவினைகள் இருக்கும் என்பதும் {0,1,2,…},{0,2,4,…}, {0,3,6,…}, ………முதலான கணங்களில் ஒவ்வொன்றிலிருந்தும் ஓர் எண்ணை எடுத்து பெருக்குவதும், n னை எத்தனை விதமான கூட்டுத் தொகையாக எழுத முடியும் என்பதும் ஒன்று தான் எனக் கண்டறிந்தார். இதை அழகாகக் கணிதத்தில் மாற்றும் போது

என்ற கோவைகளை பெருக்கினால் x இன் n ஆவது அடுக்குக்குறியின் குணகம் n இன் பிரிவினைகளின் எண்ணிக்கையைக் கொடுக்கிறது என்று தெளிவாகத் தெரிகிறது.. அதாவது

ஆய்லர் p(n) இன் மதிப்பை

p(n) = p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+p(n-12)…….

என்ற சமன்பாட்டை உபயோகித்து பன்முறை செயல் முறையில் (iterative) கணக்கிடும் வழியையும் கொடுத்தார். உதாரணமாக :

P(7) = p(6)+p(5)-p(2)-p(0) = 11+7-2-1= 15
P(8) = p(7)+p(6)-p(3)-p(1) = 15+11-4-1 = 22

ஆனாலும் இந்த முறையால் p(n) மதிப்பு சிறிய n இன் மதிப்புக்களுக்குத் தான் கண்டறிய முடிந்தது. ஏனெனில் முன்பே பார்த்தது போல் p(10)=42, p(100)=190569292., p(200)= 3972999029388 என மிக வேகமாக p(n) இன் மதிப்பு முடிவிலியை (infinity) நோக்கிச் செல்கிறது. எனவே p(n) மதிப்பை அறிய சுலபமான, நேரடியான ஒரு சூத்திரத்தைக் கண்டு பிடிக்க கணிதவியலாளர்கள் முயன்றார்கள்.

ஆய்லருக்குப் பிறகு கிட்டத்தட்ட 150 வருடங்கள் கழித்து இந்தியக் கணித மேதை இராமானுஜன் ஹார்டியுடன் சேர்ந்து p(n) மதிப்பை தோரயமாக மதிப்பிட,

என்ற சூத்திரத்தைக் கொடுத்தார். இந்த சூத்திரத்தை நிறுவ பயன்படுத்திய “வட்ட முறை” (circle method) எண்கணிதத்தில் மிக முக்கியமான உத்தியாக இன்றும் பயன்படுகிறது. 1937 ஆம் ஆண்டு ராடாமக்கர் என்ற ஜெர்மன் கணிதவியலாளர் ராமனுஜன்-ஹார்டி சூத்திரத்தை மாற்றி தோரயமாக இல்லாமல் சரியாக p(n)மதிப்பைக் கொடுக்கும் ஒரு சூத்திரத்தை கண்டு பிடித்தார். ஆனால் இந்த சூத்திரங்களில் கிடைக்கும் p(n) இன் மதிப்பில் தசமஸ் தானம் (decimal places) இடம் பெறுவதால், அதனை துணித்தல் (rounded) செய்து முழு எண்ணாக விடையை அறிய வேண்டி இருந்தது. இதற்குப் பிறகும் இயல் எண்ணின் மதிப்பு அதிகரிக்கும் போது p(n) கண்டறிவது மிகவும் கடினமாக இருந்தது.
மாக்மகோன் (MacMahon) 1918 ஆம் ஆண்டு p(1) லிருந்து p(200) வரையிலான மதிப்புப் பட்டியலை வெளியிட்டார். அதனை கூர்ந்து நோக்கிய இராமானுஜன் அந்த பட்டியலிலுள்ள பிரிவினைகளின் மதிப்புக்களில் இருக்கும் சில ஒழுங்குகளைக் கவனித்தார். குறிப்பாக p(4)=5, p(4+5)=30, p(9+5)=135, p(14+5)=490…என்பதிலிருந்து n=0,1,2,3,4….மதிப்புகளுக்கு p(4n+5) இன் மதிப்பு 5 ஆல் வகுபடும் எனக் கண்டறிந்து அதனை நிரூபிக்கவும் செய்தார். அதே போல் பகா எண்கள் 7 மற்றும் 11 க்கும் முறையே p(5n+7) இன் மதிப்பு 7 ஆலும், p(6n+11) இன் மதிப்பு 11 ஆலும் வகுபடும் என நிறுவினர். இவைகள் இராமானுஜனின் முற்றிசைவுகள் (congruences) என்று அழைக்கப்படுகிறது.
மேலும் மற்ற பகா எண்களுக்கும் இதே போன்று முடிவுகள் இருக்கும் என்றும், ஆனால் அவைகள் 5,7,11 போன்று எளிமையானதாக இருக்காது என்றும் எழுதி வைத்தார்.

இந்த இறுதிக் கூற்று தான் கணிதவியலாளர்களை தொடந்து சிந்திக்க வைத்தது. பகா எண் 13 எடுத்துக் கொண்டால் என்னவாகிறது என்று பார்ப்போம். p(237) இன் மதிப்பு 13 ஆல் வகுபடுகிறது. அதே போல் p(17303+237) இன் மதிப்பு 13 ஆல் வகுபடுவதைக் காணலாம். n=0,1,2,3,4….மதிப்புகளுக்கு p(17303n+237) இன் மதிப்பு 13 ஆல் வகுபடும் என்று நிரூபணமானது. இதே போன்று n=0,1,2,3,4….மதிப்புகளுக்கு p(48037937n+1122838) இன் மதிப்பு 17 ஆல் வகுபடும் என்று நிரூபிக்கப்பட்டது.ஆனால் 2000 ஆம் ஆண்டு கென் ஓனோ 3 க்கு மேற்பட்ட எந்தொரு பகா எண் k-க்கும், n=0,1,2,3,4….மதிப்புகளுக்கு p(An+B) இன் மதிப்பு k ஆல் வகுபடும் என்று நிறுவினர்.

இதில் k எங்கு வருகிறது? k=13 எனில், p(17303n+237) இன் மதிப்பு 13 ஆல் வகுபடும் என்று நிறுவப்பட்டது. அதாவது, p(237), p(17303+237),p(17303X2+237),p(17303X3+237)…..என்ற தொடரில் கிடைக்கும் எல்லா மதிப்புக்களும் 13 ஆல் வகுபடும். இங்கு A=17303, B= 237, k=13 மற்றும் n=0,1,2,3….இதே போல் k=17 எனில்,n=0,1,2,3,4….மதிப்புகளுக்கு p(48037937n+1122838) இன் மதிப்பு 17 ஆல்வகுபடும் என்று நிரூபிக்கப்பட்டது. இதைத் தான் மிகப் பொதுவாக 2000ஆம் ஆண்டு கென் ஓனோ 3 க்கு மேற்பட்டஎந்தொரு பகா எண் k-க்கும், n=0,1,2,3,4….மதிப்புகளுக்கு p(An+B) இன்மதிப்பு k ஆல் வகுபடும் என்று நிறுவினர்.

இதை கணிதத்தில் ஒத்திசைவாக எழுதும் போது,
p(17303n+237)=0(mod13)
p(48037937n+1122838)=0(mod17)
p(An+B)=0(modk)

இது ஒரு முக்கியமான முடிவாக இருந்தாலும், 17303, 48037937 போன்ற எண்களுக்கு உண்டான சிறப்பு என்ன? மேலும் இந்த எண்கள் மிகவும் பெரிய எண்களாக இருப்பதால், பிரிவினைகளின் மதிப்புக்க்களில் எந்த ஒரு ஒழுங்கையும் அறிய முடியவில்லை. ஓனோவின் இந்த முடிவு பிரிவினைகள் பற்றிய ஆராய்ச்சியில் மிக முக்கியமான முடிவு என்பதில் சந்தேகமே இல்லை.

.இந்த முக்கியமான முடிவுக்குப் பிறகும் பிரிவினைகளின் குணாதிசியங்கள் குறித்து எதுவும் பெரிதாக அறிய முடியவில்லை. கென் ஓனோ தளராமல் 10 ஆண்டுகள் விடாமல் உழைத்து இதற்கும் ஒரு விடையை ஜனவரி 2011 இல் கொடுத்தார். இராமனுஜனைப் போலவே ஒனோவும்
p(4)=5,p(99)=169229875,p(2474)=1486….407175000,…. என்ற தொடரை உற்று நோக்கினர். இதில் முதல் மதிப்பைத் தவிர மற்ற எல்லாம் 25 ஆல் வகுபடுவதைக் கண்டார்.

இதில் 4, 99, 2474, இவற்றிற்கிடையே உள்ள தொடர்பு என்ன? 25 எங்கிருந்து வந்தது?
பதில்: p(4)=5,
p(24)=1575,
p(49)=173525,
p(74)=7089500,
p(99)=169229875,
p(124)=2841940500,
p(149)=37027355200,
p(174)=397125074750,
p(199)=3646072432125,
p(224)=29454549941750,
p(249)=213636919820625,…..

முதலில் n=0,1,2,3…..என்றால், p(5n+4) இன் மதிப்புகள் 5 ஆல் வகுபடும் என்றோம். அதாவது p(4), p(9), p(14), p(19), p(24), p(29), p(34), p(39), p(44), p(49),…….p(74),…..p(99),…p(124),….p(149),….p(174),….p(199), p(224), p(249)….என்ற முடிவில்லா தொடரில் உள்ள எல்லா மதிப்பும் 5 ஆல் வகுபடும். அதே போல், p(24), p(29), p(34), p(39), p(44) p(49),…….p(74),…..p(99),…p(124),….p(149),….p(174),….p(199), p(224), p(249)….என்ற முடிவில்லா தொடரில்லு எல்லா மதிப்பும் 5^2=25 ஆல் வகுபடும். மேலும் p(124),….p(149),….p(174),….p(199),p(224),p(249)……என்ற முடிவில்லா தொடரில் உள்ள எல்லா மதிப்பும் 5^3=125 ஆல் வகுபடும்.இறுதியாக, எந்த m=1,2,3,4… க்கும், தொடரிலுள்ள எல்லா p(n) மதிப்புகளும் 5^m ஆல் வகுபடுவதைக் கண்டார்.அப்படியே 5,5^2,5^3,…என்று ஜூம் செய்தால் எண்கள் வகுபடுவதும் ஒரு முறையைக் கொண்டுள்ளது அறிய முடிந்தது.

இறுதியாக, எந்த m க்கும், தொடரிலுள்ள எல்லா p(n) மதிப்புகளும் ஆல் வகுபடுவதைக் கண்டார். அதாவது இந்த தொடர்கள் எல்லாமே உருஅளவை அதிகப் படுத்த (zoom in), அதிகப் படுத்த ஒரே போன்ற ஓழுங்கை(pattern) வெளிப்படுத்துவதை பார்க்க முடிந்தது.இது போன்ற ஒழுங்கு பகா எண் 13 க்கும் இருக்கிறதா என்று ஓனோ ஆராய்ந்தார். ஆமாம் அதே ஒழுங்கைப் பார்த்தார். இது பகுவியல்(fractal) தன்மை கொண்டதென்று உணர்ந்தார்.ஒரு வடிவவியல்(geometry) வடிவை சிறு பகுதிகளாகப் பிரிக்கும் போது, அந்த சிறு பிரிவுகளின் வடிவு மொத்த வடிவின் சிறிதாக்கப் பட்ட பிரதியாக இருந்தால் அதனை பகுவியல் எனலாம். இதிலிருந்து பிரிவினைகளின் மதிப்பு பகுவியல் தன்மை கொண்டதென்று முடிவுக்கு வந்தார். இதனை தன்னை ஒத்த பண்பு(self-similarity) எனக் கணிதத்தில் கூறுவார்கள். அதாவது p(n) இன் மதிப்புகளின் தொடர் கால அளவில் மீண்டும் மீண்டும் ஒரு சிறப்பான தன்மையை வெளிபடுத்துகிறது. மேலும் குறப்பிட்ட இயல் எண் n க்கு p(n) இன் மதிப்பை அறியும் போது அதற்கு முன் வேறொரு எண் n க்கு உண்டான p(n) மதிப்புடன் தொடர்பு படுத்த முடியும் என்று பொருள் கொள்ளலாம். உதாரணத்திற்கு p(6), p(6 + 13), p(6 + 13 + 13)….. தொடரின் மதிப்புகளுடன் p(1,007), p(1,007 + 13X13), p(1007 + 13X132 +13X13) மதிப்புக்களை இணைக்கமுடியும்..
அதனை கணித முறையில் நிறுவுவதற்குத் தான் இந்த பாடு. Zachary A. Kent, மற்றும் Amanda Folsom என்ற இருவருடன் சேர்ந்து தான் இந்த ஆராய்ச்சிக் கட்டுரையை வெளியிட்டார் ஓனோ. இதன் மூலம் இராமானுஜன் இறுதியாக எழுதி சென்றதின் பொருளும் புரிந்தது.

ஓனோ இதோடு விடாமல் p(n) கணக்கிட ஓர் எளிமையான சூத்திரம் கண்டறிவதில் முனைப்பாக இருந்தார்.இறுதியாக கென் ஒனோவும், ஜென் ப்ருனியர் அட்லாண்டாவில் போக்குவரத்து நெரிசலில் மாட்டிக் கொண்டு விவாதித்த கணத்தில் தோன்றிய சிந்தனை, ஒரு எளிமையான சூத்திரத்தை p(n) மதிப்பு கண்டறிய வழி வகுத்தது. அவர்கள் P என்ற ஒரு சார்பைக் கொண்டு மிகச் சுலபமாக சில படிகளில் p(n) மதிப்பு அறியும் முறையை அறிவித்து 250 ஆண்டுகளாக விடை கிடைக்காத இந்தக் கேள்விக்கு முற்றுப்புள்ளி வைத்தார்கள். இது மனித குலமும், கணித வரலாறும் கொண்டாட வேண்டிய தருணம் என்றால் மிகையாகாது.

இது போன்ற ஆராய்ச்சியின் முடிவுகளால் என்ன பயன் என்பது பலரின் கேள்வியாக இருக்கும். என்னைப் போன்ற கணிதத்தை கணிதத்திர்க்காகவே என படிப்பவர்களுக்கு பிரச்சனை இல்லை. மற்றவர்களுக்கு இராமானுஜனின் கணித ஆராய்ச்சியை தொடர்ந்து செய்து வரும் G.E. Andrews சொல்கிறார் “தூய கணிதத்தில் கிடைக்கும் முடிவுகளின் பயனை உடனடியாகக்
கண்டறிய முடியாது.சிறுது காலம் சென்றால் இதன் பயன் விளங்கும்”.என்னைப் பொறுத்த வரை “பூவுக்குள் ஒளிந்திருக்கும் கனிக்கூட்டம் அதிசியம்” என்று வைரமுத்து எழுதியது போல் இராமனுஜனால் விதைக்கப் பட்ட சிறிய விதை இன்று பெரிய மரமாகி பூத்திருக்கிறது. அந்தப் பூவிலுள்ள கனிகள் வெளிப்பட சில காலம் ஆகலாம்.

மேற்கோள்கள்:

1. http://esciencecommons.blogspot.com/2011/01/new-dimension-to-adding-and-counting.html
2. இந்தக் கண்டு பிடிப்பைப் பற்றி கென் ஓனோ கொடுத்த லெக்சரை இங்கே கேட்கலாம் :

http://www.youtube.com/watch?v=aj4FozCSg8g

3. http://www.scientificamerican.com/article.cfm?id=mathematics-ramanujan

[stextbox id=”info” caption=”ஆசிரியர் குறிப்பு”]
Dr.பாஸ்கர் சென்னையில் இருக்கும் “The Ramanujan Institute for Advanced Study in Mathematics” எனும் அமைப்பில் ஆய்வு செய்து கணிதத்தில் முனைவர் பட்டம் பெற்றவர். தமிழ்நாட்டில் பல கல்லூரிகளில் கணிதம் மற்றும் கணிணியியல் குறித்த வகுப்புகளை நடத்தியிருக்கிறார்.
[/stextbox]