kamagra paypal


முகப்பு » அறிவியல், கணிதம், தத்துவம்

கணிதசிந்தனைச்சோதனைகள்

ஹில்பர்ட்டின் ஹோட்டல்

ஒன்று, இரண்டு, மூன்று என்று எண்ணிக்கொண்டே போனால் எண்கள் முடிவில்லாமல் போய்க்கொண்டே இருக்கும். எனவே உலகிலேயே பெரிய எண் எது என்று கேட்டால் அது முடிவிலி (Infinity) என்பதுதான் என்று எட்டாம் வகுப்பில் படித்திருக்கிறோம். அந்த முடிவிலி ஒரு வினோதமான விஷயம். அது ஒற்றைப்படை எண்ணா அல்லது இரட்டைப்படை எண்ணா என்றெல்லாம் கேட்க முடியாது. இதுதான் உலகிலேயே பெரிய எண் என்று சொன்னபின் இதை விட பெரிய எண் ஏதும் இருக்கிறதா என்று கேட்கலாமோ? இந்த மாதிரியான கேள்விகளுக்கு விடை கொடுக்க சென்ற நூற்றாண்டில் வாழ்ந்த ஜெர்மானிய கணிதமேதை டேவிட் ஹில்பர்ட் (David Hilbert) ஒரு சிந்தனைச்சோதனையை பரிந்துரைத்தார். அவருடைய சோதனையை பத்து இருபது ஆண்டுகளுக்குப்பின் 1947ஆம் ஆண்டு வாக்கில் “ஒன்று இரண்டு மூன்று…முடிவிலி” என்ற தனது சுவையான கணிதப்புத்தகத்தில் ஜார்ஜ் காமொவ் (George Gamow) எழுதி பிரபலப்படுத்தினார்.

hilbertஹில்பர்ட் தனது கற்பனையில் கட்டிய விடுதியில் உள்ள மொத்த அறைகளின் எண்ணிக்கை முடிவிலி! அதனால் விடுதியின் விளம்பர வாசகமே, “ஹில்பர்ட் ஹோட்டலில் இடமில்லையாவது..?” என்பதுதான். எங்கள் விடுதி நிரம்பி இருந்தாலும், வரும் விருந்தினர்களை எப்போதும் திருப்பி அனுப்ப மாட்டோம் என்பது அவர்கள் தரும் உத்திரவாதம். விடுதி இருக்கும் ஊரில் ஒரு பெரிய கணித மாநாடு நடப்பதால் ஒரு வாரம் அத்தனை அறைகளும் புக் செய்யப்பட்டு விருந்தாளிகள் விடுதியை நிரப்பி இருந்த ஒருநாள் ஒரு வி‌ஐ‌பி வந்து தனக்கு ஒரு அறை வேண்டும் என்று ஒற்றை காலில் நிற்கிறார். விடுதியில் உள்ள அறைகள் அனைத்திலும் விருந்தினர்கள் இருக்கிறார்களே! என்ன செய்வது? ஒரு நிமிடம் யோசித்த ஹோட்டல் மேனேஜர், அதற்கென்ன, சில நிமிடங்களில் உங்களுக்கு இடம் கொடுக்கிறேன் என்று அவருக்கு உறுதி அளித்துவிட்டு, ஹோட்டலில் தங்கியிருக்கும் அத்தனை விருந்தினர்களையும் அவர்களது அறை எண்ணுடன் ஒன்றைக்கூட்டினால் வரும் விடையுள்ள அறை எண்ணுக்கு போய் விடும்படி கேட்டுக்கொள்கிறார்! இப்படியாக ஒன்றாம் அறைக்காரர் இரண்டாம் அறைக்கும், இரண்டாம் அறைக்காரர் மூன்றாம் அறைக்கும் மாறிப்போய்ச்சேர்ந்தவுடன் ஒன்றாம் எண் அறை மட்டும் காலியாகிவிடவே, அதை புதிதாக வந்த வி‌ஐ‌பிக்கு கொடுத்து சமாளிக்கிறார்! இப்போது இன்னொரு வி‌வி‌ஐ‌பி வந்துசேர்ந்தால்? கவலையே இல்லை. முதல் வி‌ஐ‌பியை இரண்டாவது அறைக்கும், அங்கிருப்பவரை மூன்றாவது அறைக்கும், அங்கிருப்பவரை நான்காவது அறைக்குமாக மாற்றிக்கொண்டே போனால், திரும்பவும் முதலாம் அறை வி‌வி‌ஐ‌பிக்கு கொடுக்க வசதியாய் காலியாகிவிடுமல்லவா? இப்படி புதிதாக எத்தனை விருந்தினர்கள் வந்தாலும் ஹோட்டலில் இருக்கும் விருந்தினர்களை எல்லாம் பக்கத்து அறைக்கு மாற்றி ஒன்றாம் எண் அறையை காலி செய்து கொடுத்து விடலாம். விடுதியில் இருக்கும் அறைகளின் எண்ணிக்கை முடிவிலியாக இருக்கும் பட்சத்தில் இது சாத்தியம்!

இந்த அறை அளிக்கும் முறையைப்பற்றி கேள்விப்பட்ட சிலர், இந்த முறையைப்பின்பற்றினால், ஆரம்பத்தில் ஹோட்டல் நிறைந்திருந்தபோது எல்லோரும் அவரவர் அறைகளுக்குள் ஓய்வாக இருந்த நிலை மாறி, எப்போதும் யாரோ ஒருவர் தன் அறையிலிருந்து இன்னொரு அறைக்கு மாறும் காரியத்தில் ஈடுபட்டு இருப்பார் என்பதை சுட்டிக்காட்டினார்கள். அவர்கள் வாதப்படி, விடுதியின் தாழ்வாரத்தில் நடந்து போய்க்கொண்டிருக்கும் அந்த ஒரு மனிதருக்கு அந்த ஷணம் அறை ஏதும் இல்லை. இன்னொரு விதமாக பார்த்தால் இது புதிதாக வந்த விருந்தாளிக்கு முடிவிலி எண் அறையை கொடுத்து அங்கு போய் தங்கிக்கொள்ள சொல்வதற்கு ஈடு. அவர் எத்தனை நேரம் நடந்தாலும் அந்த அறையை போய் அடைய மாட்டார் என்பதால் புதிதாக அவருக்கு ஒரு அறை கொடுத்துவிட்டதாக ஏற்றுக்கொள்ள முடியாது என்பது அவர்கள் கருத்து. ஆனால் ஹில்பர்ட்டின் முறைப்படி அறைகளை மாற்றிக்கொடுத்தால் எந்த ஒரு விருந்தினரும் ஒரு குறிப்பிட்ட காலத்துக்குள் அவர்களது புது அறையை அடைந்து ஓய்வெடுக்க முடியும். எனவே அந்த மறுப்பு கட்சியினர் இந்த சிந்தனைச்சோதனை சொல்லவரும் விஷயத்தை சரியாக புரிந்து கொள்ளவில்லை என்பது அந்த மறுப்புக்கு தரப்படும் மறுவினை.

இப்போது அதே ஊரில் அதே வாரத்தில் இன்னொரு கணினியியல் மாநாடு வேறு போட்டியாக நடக்கிறது! அதில் பங்குகொள்ள வினோதமான ஒரு பேருந்தில் எக்கச்சக்கமான கூட்டம் வந்திறங்குகிறது! பேருந்தின் வினோதம் அதன் கொள்ளளவு முடிவிலி என்பதுதான்! அதாவது அந்த பேருந்து இன்னொரு முடிவிலி விருந்தினர்களை கொண்டுவந்து இறக்குகிறது. இப்படியெல்லாம் ஒரு பேருந்தோ ஹோட்டலோ உருவாக்க முடியுமா என்றெல்லாம் நாம் கவலைப்பட வேண்டாம். அதுதானே சிந்தனைச்சோதனைகளின் மகிமையே!

HHLiftBW

ஹில்பர்ட் ஹோட்டல்தான் ஊரில் பிரபலம் என்பதால் பேருந்தில் வந்திறங்கும் அனைவரும் அதை நோக்கிப்படையெடுக்கிறார்கள். திடீரென்று இன்னும் முடிவிலி புதிய விருந்தினர்களுக்கு அறைகள் தர வேண்டிய நிர்பந்தம் மேனேஜருக்கு! ஒரு நிமிடம் யோசிக்கும் அந்த புத்திசாலி மேனேஜர் அத்தனை புதிய விருந்தினர்களுக்கும் ஹோட்டலில் அறைகள் கிடைக்கும் என்று அறிவிக்கிறார். அதன்பின் அப்போது ஹோட்டலில் தங்கியிருக்கும் அத்தனை பேரையும் அவர்கள் தங்கியிருக்கும் அறை எண்ணை இரண்டால் பெருக்கினால் கிடைக்கும் விடை எண் கொண்ட அறைக்கு மாறிக்கொள்ள சொல்கிறார். ஒன்றாம் அறைக்காரர் இரண்டாம் அறைக்கும், இரண்டாம் அறைக்காரர் நான்காம் அறைக்கும், மூன்றாம் அறைக்காரர் ஆறாம் அறைக்கும், நான்காம் அறைக்காரர் எட்டாம் அறைக்குமாய் மூட்டை முடிச்சுக்களுடன் படத்தில் காட்டியுள்ளது போல் போய் சேர, ஒற்றைப்படை எண்கள் உள்ள அறைகள் அனைத்தும் இப்போது காலி! இந்த பிரமாண்டமான ஹோட்டலில் ஒற்றைபடை எண்கள் கொண்ட அறைகள் மட்டுமே கூட முடிவிலி எண்ணிக்கையில் இருப்பதால், அந்த வினோத பேருந்து முழுக்க அடைத்துக்கொண்டு வந்திறங்கிய அத்தனை கணினியியல் மாநாட்டு விருந்தினர்களுக்கும் அறைகள் கிடைத்துவிடும்!

இதற்கும் பல படிகள் மேலேறி ஒரு சூழ்நிலையை உருவாக்கி மேனேஜரால் சமாளிக்க முடிகிறதா என்று பார்க்கலாம். ஊரில் இரண்டு மாநாடுகளுடன் நிறுத்தாமல், உலகில் இருக்கும் அத்தனை துறை மாநாடுகளும் சேர்ந்து அதே ஊரில் ஒரே சமயத்தில் நடப்பதாக கொள்வோம். கணினியியல் மாநாட்டில் பங்கு பெற ஒரு வரையற்ற பேருந்து நிரம்ப முடிவிலி பயணிகள் வந்திறங்குவது போல், நடக்கும் முடிவிலி மாநாடுகளுக்காக முடிவிலி வினோத பேருந்துகள் வந்து சேர்த்தால்? அதாவது ஊரில் முடிவிலி வர்கம் (infinity square) புதிய விருந்தினர்கள் வந்து இறங்குவார்கள்! அதையும் சமாளித்து அந்த கில்லாடி மேனேஜரால் எல்லோருக்கும் ஹில்பர்ட் ஹோட்டலில் அறைகள் கொடுத்து விட முடியுமோ?

buspeople

முதல் பேருந்தில் வந்தவர்கள் எல்லோருக்கும் அறைகள் கொடுத்துவிட்டு அதன்பின் இரண்டாம் பஸ் விருந்தினர்களை கவனிக்க நினைத்தால், முதல் பஸ் பயணிகள் வரிசை முடியவே போவதில்லை. எனவே, மீதமுள்ள பஸ்களின் பயணிகள் ஒருவருக்கும் எந்தக்காலத்திலும் அறைகள் கிடைக்காது என்பது உண்மை. இதை எப்படி சமாளிப்பது?  படத்தில் காட்டியுள்ளபடி முதலில் காலியாகும் அறையை முதல் பஸ்ஸில் வந்த முதல் பயணிக்கும், அடுத்து காலியாகும் அறையை முதல் பஸ்ஸில் வந்த இரண்டாம் பயணிக்கும், மூன்றாவதாக காலியாகும் அறையை இரண்டாம் பஸ்ஸில் வந்த முதல் பயணிக்கும், நான்காவதாக காலியாகும் அறையை மூன்றாவது பஸ்ஸில் வந்த முதல் பயணிக்கும்…. என்று கொடுத்துக்கொண்டே போனால் யாரையுமே முடிவிலி நேரம் வரை காக்க வைக்காமல் எல்லோருக்கும் அறைகளை கொடுத்துவிட முடியும் என்பது மேனேஜரின் புதிய திட்டம்.

cantor திட்டம் கேட்பதற்கு நன்றாக இருக்கிறது. ஆனால் இதை செயல்படுத்துவதில் ஒரு தடை இருக்கிறது என்கிறார் ஜார்ஜ் கேண்டர் (Georg Cantor). இவர் ஹில்பர்ட்டை விட இன்னும் மூத்த கணித மேதை. நூறு வருடங்களுக்கு முன்னால் இதற்காக அவர் வழங்கிய எளிமையான, அதே சமயம்  அழகான ஒரு ஆதாரம் பிரமிப்பூட்டும் ஒன்று. பூஜ்யம் மற்றும் ஒன்று என்ற இரண்டு எண்களுக்கிடையே உள்ள பின்ன எண்களின் மொத்த எண்ணிக்கை எண்ணவே முடியாத ஒரு முடிவிலி. எனவே அந்த முடிவிலி, வெறுமனே ஒன்று, இரண்டு, மூன்று என்ற இயற்கை எண்கள் (Natural Numbers) தொடரில் வரும் முடிவிலியை விடப்பெரியது* என்றார் கேண்டர்!

ஹில்பர்ட் ஹோட்டலின் அறை எண்கள் 1, 2, 3 என்று தொடர்ந்து முடிவிலி வரை இருக்கிறது என்று சொன்னோம். இப்போது 1 மற்றும் 2க்கு இடையே எத்தனை பின்னங்கள் இருக்கின்றன என்று ஆராயும் மாநாட்டுக்கு வந்தவர்களின் பேருந்தில் ஒவ்வொரு பின்னத்துக்கும் ஒரு ஆள் இருந்தால், அந்தப்பேருந்தில் வந்திறங்கும் முடிவிலி விருந்தினர்களை விடுதியில் ஆளுக்கு ஒரு அறை கொடுத்து அடைத்து விட முடியாது! ஹில்பர்ட் ஹோட்டலையே சுத்தமாக காலி செய்து கொடுத்தாலும் கூட அந்த ஒரு பேருந்தில் வரும் விருந்தினர்களுக்கு அறைகள் போதாது!  முடிவிலிகளுக்குள்ளேயே இப்படி பெரிய முடிவிலி, சின்ன முடிவிலி எல்லாம் உண்டு என்பதை அந்தக்காலத்தில் பல கணித அறிஞர்கள் ஏற்க மறுத்தனர். ஆனால் ஹில்பர்ட் என்னவோ கேண்டர் நமக்காக படைத்திருக்கும் இந்த கணித சொர்கத்தில் இருந்து யாராலும் நம்மை வெளியே துரத்த முடியாது என்று புளகாங்கிதம் அடைந்திருக்கிறார்! அவருடைய சந்தோஷத்தின் எல்லையும் ஒரு முடிவிலியோ அல்லது வரையிலியோ?

அக்கிலீசும் ஆமையும்

சுமார் 2500 வருடங்களுக்கு முன் வாழ்ந்த கிரேக்க நாட்டு வேதாந்தி எலியா என்ற ஊர்க்காரரான ஜீனோ (Zeno of Elia). இயக்கம் என்பதே கூட ஒரு மாயைதான் என்று விளக்க அவர் ஒரு சிந்தனைச்சோதனையை முன் வைத்தார். அக்கிலீஸ் அந்தக்காலத்து ஒட்டப்பந்தய வீரர். அவருக்கும் ஒரு ஆமைக்கும் ஒரு சின்ன நூறு மீட்டர் ஒட்டப்பந்தயம் வைக்கப்படுகிறது. ஆமையைப்பார்த்து சிரிக்கும் அக்கிலீஸ், “உனக்கு சரிக்கு சரியாய் போட்டியிட்டால் எனக்கு அது அவமானம். எனவே நீ ஐம்பது மீட்டரை அடையும் வரை நான் நகரவே போவதில்லை. அதற்கப்புறம் ஓட ஆரம்பித்து சுலபமாக வெற்றி பெற்று காட்டுகிறேன். நீ ஓடிப்போ” என்கிறார். அப்படியே ஆமை நடந்து நடந்து ஐம்பதாவது மீட்டர் தூரத்தை தாண்டியவுடன் இவர் ஓட ஆரம்பிக்கிறார். பந்தயத்தில் யார் ஜெயிப்பார்கள் என்பது ஜீனோவின் கேள்வி.

aandt

ஜீனோவின் வாதப்படி அக்கிலீஸ் ஆமையை விட வெகுவேகமாய் ஓடக்கூடிய வீரர் என்றாலும்,  அவர் பூஜ்யத்தில் இருந்து ஆரம்பித்து ஐம்பதாவது மீட்டரை சென்றடையும் நேரத்தில் ஆமை இன்னும் கொஞ்சம் தூரம் போய் சேர்ந்திருக்கும். ஒரு பேச்சுக்கு அந்த ஆமை அக்கிலீஸின் வேகத்தில் 20 சதவிகிதத்தை தொடுகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். அப்போது அவர் 50 மீட்டரை ஓடி முடிக்கும் தருணத்தில் ஆமை என்னோரு 10 மீட்டர் போய் சேர்ந்திருக்கும். அக்கிலீஸ் அந்த 10 மீட்டர் தூரத்தை ஓடி முடிக்கும்போது ஆமை இன்னும் 2 மீட்டர் நகர்ந்திருக்கும். அக்கிலீஸ் அந்த 2 மீட்டரை ஓடி முடிப்பதற்குள் ஆமை இன்னும் 0.4 மீட்டர் நகர்ந்து விடும். இப்படியாக அக்கிலீஸ் அடுத்தடுத்த இலக்குகளை அடையும் முன், எவ்வளவு சிறிய தூரமாக இருந்தாலும் ஆமை கொஞ்சமாவது நகர்ந்திருக்கும். எனவே அக்கிலீஸால் ஆமையை தாண்டிப்போய் வெற்றிபெறவே முடியாது என்றார் ஜீனோ! அவர் சொல்வதில் என்ன தவறு?

இதெல்லாம் யோசித்தால் தலை வலிக்கிறது, 100 மீட்டர் ஒட்டப்பந்தயம் முடியும்போது அக்கிலீஸ் வென்றிருப்பார், அவ்வளவுதான். ஆளை விடுங்கள் என்று நீங்கள் தப்பிக்க முயலலாம். ஆனால் அந்த தப்பித்தல் ஜீனோவின் வாதத்தில் இருக்கும் பிழை எதையும் சுட்டிக்காட்டவில்லை என்று ஒப்புக்கொள்ளத்தான் வேண்டி இருக்கிறது. ஜீனோவின் இந்த முரண்பாட்டுக்கு விளக்கம்தான் என்ன? கணிதத்தில் முடிவே இல்லாத தொடர்கள் நிறைய உண்டு. அத்தகைய தொடருக்கு மிகவும் எளிதான ஒரு உதாரணம் 1+2+3+4+5+… என்ற தொடர். இதற்கு முடிவே கிடையாது. இந்தத்தொடரின் மொத்த கூட்டுத்தொகை முடிவிலி. அவ்வளவுதான். இந்த மாதிரியாக அடுத்தடுத்த படிகளில் விடை கட்டுப்பாடின்றி பெரிதாகிக்கொண்டே போகும் தொடர்களை வரையில்லாத்தொடர்கள் (diverging series) என்று வைத்துக்கொள்வோம்.

முடிவே இல்லாத இன்னொரு தொடர் 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 +… என்ற தொடர். கொஞ்சம் யோசித்தால் முதலில் பார்த்த தொடர் போல் இல்லாமல், இந்தத்தொடரின் கூட்டுத்தொகை 1 என்ற இலக்கை நோக்கி செல்கிறது என்பது நமக்குப்புரியும். தொடரின் எத்தனை படிகள் வரை போனாலும் கூட்டுத்தொகை ஒன்றை தாண்டவே தாண்டாது! பொதுவாக முடிவே இல்லாத ஒரு தொடர் என்றாலும் குறிப்பிட்ட தொடர் வரையற்று பெருகும் ஒன்றா,  இல்லையா? இல்லை என்றால் தொடரின் கூட்டுத்தொகை என்ன? என்பதை எல்லாம் கண்டறிய கணித சூத்திரங்கள் உண்டு. இரண்டாவதாக நாம் பார்த்த தொடரைப்போல் அடுத்தடுத்த படிகளை தொடும்போது விடை இன்னும் கொஞ்சம் கட்டுப்பாட்டுக்குள் வந்து சேரும் தொடர்களை வரைவுள்ள தொடர்கள் (converging series) என்று சொல்லலாம். அக்கிலீஸ் ஓடிக்கொண்டிருப்பது இந்த மாதிரியான ஒரு வரைவுள்ள தொடருக்குள் என்பதால் நம்மால் அளவிடக்கூடிய ஒரு காலக்கட்டத்துக்குள் அவன் அந்தத்தொடரின் இறுதியை அடைந்து விடுவான் என்பது உறுதி. எனவே 100 மீட்டர் ஒட்டப்பந்தயத்தின் இறுதியில் அவன் வெற்றி பெறுகிறான் என்று கூறலாம்.

இந்த மாதிரியான ஏதோ ஒரு மாயச்சுழல்தான் இந்தியாவில் இப்போது மிகப்பிரபலமாக வலம் வரும் EMI என்று தோன்றுகிறது. அதனால்தான் அதற்குள் நுழைந்தவர்கள் அந்த ஓட்டத்தை வெற்றிகரமாக முடித்துவிட்டு வெளியே வரமுடியாமல் வாழ்நாள் முழுதும் அசல் தொகையான ஆமையை துரத்தித்துரத்தி, எத்தனை முறை தவணைத்தொகையை கட்டினாலும் முந்த முடியாமல் முழித்துக்கொண்டு இருக்கிறார்கள் என்று சிலர் சொல்வதுண்டு!

(தொடரும்)

குறிப்பு:

  • சுருக்கமாக கேண்டரின் ஆதாரத்தை இப்படி விளக்கலாம். மேலே இருக்கும் பயணியர் எண்/பேருந்து எண் படத்தில் வரிசைகளும் சரி பத்திகளும் சரி (rows & columns) முடிவிலி என்பது தெரிகிறதல்லவா? இப்போது ஒவ்வொரு பயணியர் எண்ணையும் அவருடைய பேருந்தின் எண்ணால் வகுத்தால் ஒரு பின்ன எண் கிடைக்கும். உதாரணமாக இரண்டாவது (2) பேருந்தில் வந்திறங்கிய முதலாவது (1) பயணி அந்த வழுக்கை தலை தாத்தா. அவருக்கு அளிக்கப்படும் பின்ன எண் ½ அல்லது 0.5. ஒவ்வொரு பயணிக்கும் ஒரு அறை கொடுக்கப்படுவதால், இப்படி உருவாகும் ஒவ்வொரு பின்ன எண்ணுக்கும் ஒரு இயற்கை எண் மிகச்சரியாக ஒதுக்கப்படுவது தெரிகிறது. அதாவது வழுக்கை தலை தாத்தாவுக்கு கொடுக்கப்படும் அறை எண் 3 என்பது 0.5 என்ற பின்ன எண்ணுக்கு ஒதுக்கப்படும் இயற்கை எண். இந்த அமைப்பின் வரிசைகளும் பத்திகளும் முடிவிலி என்பதால், இப்படி உருவாகும் கோடிக்கணக்கான பின்ன எண்களை அட்டவனைப்படுத்திக்கொண்டு, அந்த வரிசைக்கொன்றாக எண்களை தேர்ந்தெடுத்து  கேண்டர் புதிய பின்னம் ஒன்றை படைத்துக்காட்டினார். அந்த புதிய பின்னம் அந்த அட்டவனைக்குள் இருக்காது என்பதால், அதற்கு அறை எண் எதுவும் ஒதுக்கப்பட்டிருக்காது. எனவே பூஜ்யத்திற்கும் ஒன்றுக்கும் இடையே உள்ள பின்ன எண்கள் 1,2,3 என்ற தொடரின் முடிவாக சொல்லப்படும் முடிவிலியை விட அதிகமானவை என்றாகிறது!

 

 

Series Navigationதூக்கத்தைக்கெடுக்கும் சிந்தனைச்சோதனைகள்பெண்ணியல் சிந்தனைச்சோதனைகள்

2 Comments »

  • நரேஷ் குமார் said:

    அருமையான தொடர்….3,4,5ம் வாரங்களை ஓப்பிடுகையில்,இந்த வாரம் கொஞ்சம் புரிகிறது.3,4,5களை இன்னும் ஒருமுறை(?) படித்தால்தான் எனக்கு புரியும்

    # 11 October 2014 at 3:51 am
  • சுந்தர் வேதாந்தம் (author) said:

    தொடர் பற்றிய கருத்துக்களை பதிவு செய்யும் நரேஷ் குமார் போன்ற வாசகர்களுக்கு என் நன்றி. தொடரின் எந்த ஒரு பகுதியும் எளிதாகப்புரியவில்லை என்றால், அதன் முக்கியக்காரணம் என் எழுத்தின் தரம்தான். 🙂 எனவே வாசகர்களை தங்கள் கருத்துக்களை அடிக்கடி, விளக்கமாக, பிடித்த/பிடிக்காத, புரிந்த/புரியாத பகுதிகளை சுட்டிக்காட்டி பதிவு செய்யும்படி வேண்டிக்கொள்கிறேன். எதிர் வரும் பகுதிகளை இன்னும் சிறப்பாக எழுத எனக்கு அது உதவியாக இருக்கும்.
    -சுந்தர் வேதாந்தம்.

    # 26 October 2014 at 8:08 am

Leave your response!

Add your comment below, or trackback from your own site. You can also subscribe to these comments via RSS.

Be nice. Keep it clean. Stay on topic. No spam.

You can use these tags:
<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>

This is a Gravatar-enabled weblog. To get your own globally-recognized-avatar, please register at Gravatar.

CAPTCHA * Time limit is exhausted. Please reload CAPTCHA.