பள்ளிப் பருவத்தில் பூகோளப் பாடத்திற்காக வீட்டுப் பாடமாக இந்திய வரைபடத்தில் (India Map) ஒவ்வொரு மாநிலத்திற்கும் வெவ்வேறு வர்ணங்கள் அடித்துக் கொடுத்தது மறக்க முடியாத அனுபவம்.. அப்போது முடிந்த அளவு இருக்கும் எல்லா வர்ணங்களையும் பயன்படுத்த முயற்சித்தது நினைவிலிருக்கிறது. இதே போன்று  1852 ஆம் ஆண்டு இங்கிலாந்தின் வரைபடத்தில்  கௌன்டிப் பிரிவுகளுக்கு (மாவட்டம்) வர்ணம் பூச  முயன்ற கல்லூரி மாணவர் ஃப்ரான்சிஸ் கத்ரீ(Francis Guthrie, எல்லையைப் பகிர்த்து கொள்ளும் கவுன்டிகளுக்கு வெவ்வேறு வர்ணம் அடித்தால், குறைந்த அளவு எத்தனை வர்ணங்கள் தேவைப்படும் என தன் தமையனிடம் கேட்டிருக்கிறான். இந்த ஐயம், புகழ்பெற்ற த மோர்கன் (de Morgan) என்ற கணிதவியலாளர் மூலம் கணித ஆராய்ச்சியில்  ஒரு முக்கியப் புதிராக மாறியது. “நான்கு நிறக் கணக்கு” என்றழைக்கப்பட்ட இந்தக் கணக்கிற்கு அப்போதும், பின்னர் பல பத்தாண்டுகளிலும் ஒரு கணிதத் தீர்வு கிடைக்கவில்லை. ஆனால் கணனிகள் உயர் கணிதத்தில் பயன்படுத்தத் துவங்கப்பட்ட போது முதல் முறையாக ஒரு தீர்வு காணப்பட்டது. அதை 1976 ஆம் ஆண்டு கண்டடைந்தவர்கள் ஆப்பெல் மற்றும் ஹாக்கென். [1]

ஆப்பெல் தனது 80 வது வயதில் ஏப்ரல் மாதம் 19 ஆம் தேதி காலமானார். இந்தக் கட்டுரை உயர் கணிதத்துக்கு அவருடைய பங்களிப்புகளுக்கொரு நினைவஞ்சலியாகச் சமர்ப்பிக்கப்படுகிறது.

ஆப்பெல் அமெரிக்காவில் இருக்கும் மிச்சிகன் பல்கலைக்கழகத்தில் கணிதத்தில் முனைவர் பட்டம் பெற்றவர். முனைவர் பட்டத்திற்குப் படிக்கும் சமயம் அவர் கணணி மென்பொருள் எழுதுவதில் தேர்ச்சி பெற்றிருந்தார். பின்னர் இல்லினாய் பல்கலையில் கணிதப் பேராசிரியராக இருக்கையில்  ஊல்ஃப்காங் ஹாக்கென் நிகழ்த்திய ஒரு உரையில் இந்தப் புதிருக்கு விடை காண ஹாக்கென் முயன்று வருவதாகக் கண்டார். இருவரும் கலந்து பேசியபோது,கணணியைப் பயன்படுத்தி நான்கு வர்ணக் கணக்கிற்கு தீர்வு காணலாம் என்று ஏற்கனவே கருதிய ஹாக்கெனிடம், அதை முயன்று பார்க்கலாம், கணனிகளால் விடை காண முடியாத புதிர்கள் மிகக் குறைவே என்று ஆப்பெல் சொன்னதாகத் தெரிகிறது. [2]. ஹாக்கென்னும், ஆப்பெலும் சேர்ந்து ஆராய்ச்சியில் ஈடுபட்டு, நூறு ஆண்டுகளுக்கு மேலாகத் தீர்வு காண முடியாத இந்தக் கணக்கிற்குக் கணணி மூலம் தீர்வு கண்டதன் மூலம், கணித ஆராய்ச்சியில் புதிய பக்கத்தைத்  திறந்து வைத்தார்கள்.

நான்கு வர்ணக் கணக்கு ஏன் தீர்வு காணக் கடினமாக இருந்தது? அதன் வரலாறு என்ன? இந்தக் கணக்கை முதலில் புரிந்து கொள்ள முயல்வோம்.

தமிழ்நாட்டுக்கு, கேரளா, கர்நாடகம் மற்றும் ஆந்திராவுடன் எல்லைகள் உண்டு. எனவே இந்திய வரைபடத்தில் இந்த நான்கு மாநிலங்களுக்கு வெவ்வேறு வர்ணங்கள்  பூச முனைந்தால் குறைத்தது மூன்று  வர்ணங்கள்தேவைப்படும்.  அதேபோல் ஆந்திராவும், கர்நாடகா, தமிழ்நாடு, மகாராஷ்டிரா மற்றும் ஒரியாவுடன் எல்லையைப் பகிர்ந்து கொள்கிறது. தமிழ் நாட்டிற்கு கொடுத்த அதே வர்ணத்தை ஒரியாவிற்கு கொடுத்தால் மூன்று  வர்ணங்களே போதுமானதாக இருப்பதைக் காணலாம். ஆனால் இந்த வரை படத்திற்கு நான்கு வர்ணங்கள் தேவைப்படும் என்பது தெளிவாகிறது.

இந்தியாவின் வரைபடத்தில், இதே போன்று  எல்லையைப் பகிரும் அனைத்து மாநிலங்களுக்கும்,  குறைந்த அளவு நான்கு வர்ணங்களைக் கொண்டு,  வெவ்வேறு வர்ணங்கள் கொடுத்து விட முடியும். இப்போது பிரச்சனை என்னெவென்றால் இதே போல் எத்தனை நாடுகளோ அல்லது பகுதிகளோ கொண்ட எந்த வரைபடம் கொடுக்கப்பட்டாலும் அதிக பட்சம் நான்கு வர்ணங்களைக் கொண்டு அடுத்தடுத்துள்ள பகுதிகளுக்கு (adjacent regions) வெவ்வேறு வர்ணங்கள் கொடுக்க முடியும் என நிரூபிக்க வேண்டும். அப்படி நிரூபிக்க முடியவில்லை எனில், பல பகுதிகளைக் கொண்ட ஒரு வரைபடத்தை உதாரணமாக கொடுத்து, இந்த நிபந்தனையைப் பூர்த்தி செய்ய அதற்கு நான்கு வர்ணங்கள் போதாது என எதிர்மறையாக நிறுவ வேண்டும். உதாரணத்திற்கு மார்டின் கார்ட்னர் என்பவர் 1975 ஆம் ஆண்டு கீழ் கண்ட வரைபடத்தை கொடுத்து இதற்கு நான்கு வர்ணங்கள் போதாது என அறிவித்தார். ஆனால் அவர் அறிவித்த நாள் ஏப்ரல் 1 ஆம் தேதி முட்டாள்களின் தினம். அது விளையாட்டிற்குச் செய்தது என்பதை அதன் அருகிலிருக்கும் படத்தைப் பார்த்தால் உணரலாம்.

 த மோர்கன் என்ற இங்கிலாந்து நாட்டுக் கணிதவியலாளர் ஹாமில்டன் என்ற அயர்லாந்து நாட்டு கணிதப் பேராசிரியருக்கு எழுதிய கடிதத்தில் இநத வரைபடத்திற்கு நான்கு வர்ணங்கள் குறைந்த பட்சம் தேவைப்படும் என எழுதி, இதை நிரூபிக்க முடியுமா எனவும் வினவினார்.

இதன் தொடர்ச்சியாக கேய்லி  (Cayley) “நான்கு வர்ணங்கள் மட்டுமே பயன்படுத்தப்பட்டு  வரையப்பட்ட ஒரு வரை படத்தில் மேலும் பகுதிகளைச் சேர்த்தாலும் நான்கு வர்ணங்களே போதுமானது என நிறுவ முடியுமா” என்ற கேள்வியை முன் வைத்தார்.1879 ஆம் ஆண்டு ஆல்ஃப்ரெட் கெம்ப் (Alfred Kempe) நான்கு வர்ணக் கணக்கிற்கு ஒரு தீர்வைக் கொடுத்தார். ஆனால் பதினொரு ஆண்டுகள் கழித்து பெர்சி ஹீவூட் (Percy John Heawood) கெம்ப் தீர்வில் இருந்த தவறை சுட்டிக் காட்டினார். ஆனாலும் கெம்ப் தீர்வு கண்ட முறையைப் பயன்படுத்தி எந்த வரை படத்திற்கும் ஐந்து வர்ணங்கள் போதுமானது என நிறுவினார்.

இந்த நான்கு வர்ணக் கணக்கை கோலக் கோட்பாடு (Graph theory)என்ற கணிதப் பிரிவின் ஒரு கணக்காக மாற்ற முடியும்.(சுவையான அருண் நரசிம்மனின் கட்டுரையை இங்கு படிக்கலாம்.) ஒரு வரை படத்தின் ஒவ்வொரு பகுதியையும் ஒரு புள்ளியாகக் கொள்ளவும். இரண்டு பகுதிகள் எல்லைகளைப் பகிர்ந்து கொண்டால் அந்த இரண்டு புள்ளிகளையும் ஒரு கோட்டால் இணைக்கவும். இதனை ஒரு கோலம் (graph)என அழைக்கிறோம். இப்படிப்பட்ட கோலத்தில் இரண்டு புள்ளிகள் இணைக்கப்பட்டால் அவைகளுக்கு வெவ்வேறு வர்ணங்கள் கொடுக்கப்பட வேண்டும். இது போல் ஒரு தளத்தில் (plane)வரையப்பட்ட எந்த கோலத்திற்கும், கோடுகளால் இணைக்கப்பட்ட இரண்டு புள்ளிகளுக்கு வெவ்வேறு வர்ணங்கள் கொடுக்கும் பட்சத்தில், அதிகபட்சம் நான்கு வர்ணங்கள் போதுமானது என நிறுவுவது தான் நான்கு வர்ணக் கணக்காகும். உதாரணத்திற்கு 8 பகுதிகள் மற்றும் 10 புள்ளிகளும் 17 கோடுகளும் கொண்ட நான்கு வர்ணம் கொடுக்கப்பட்ட கோலம்

 

 

இதனைத் தொடர்ந்து கோலக் கோட்பாட்டை முன் வைத்து ஆராயச்சி நடை பெற்றது. அடுத்த கேள்வியாக எப்படிப்பட்ட வெவ்வேறு விதமான வரைபடங்கள் இருக்க முடியும் என்ற கேள்வி எழுந்தது.

அப்போது தான் எத்தனை நாடுகளோ அல்லது பகுதிகளோ கொண்ட எந்த வரைபடத்திலும், எல்லா நாடுகளுக்கும் ஐந்துக்கு மேற்பட்ட எல்லைகளைப் பகிர்ந்து கொள்ளுமாறு இருக்க முடியாது என்ற முடிவை ஆய்லரின் மிக முக்கியமான கோலக் கோட்பாட்டு ஃபார்முலாவை பயன்படுத்தி கணித ஆராய்ச்சியாளர்கள் நிறுவினார்கள். இதன் மூலம் குறைந்தபட்சம் ஒரு நாடாவது ஐந்து அல்லது அதற்குக் குறைவான எல்லைகளைப் பகிர்ந்து கொள்ளும் என்பது தெளிவாகியது. இந்த முடிவைப் பயன்படுத்தி எல்லா விதமான வரைபடங்களையும் வகைப்படுத்த (classify)  ஆராயச்சியாளர்கள் முயன்றார்கள். அதாவது பல்வேறு கோலங்களை ஏற்கனவே நான்கு வர்ணங்கள் போதுமானதான கோலங்களைப் போல் மாற்றி அமைக்க முடியும் எனக் கண்டறிந்தனர். இதன் மூலம் நான்கு வர்ணங்கள் போதுமானதில்லை என எதிர்மறையான வரைபடம் கொடுக்க முடியுமானால் அது 1936 வெவ்வேறு கோலங்களாகத் தான் இருக்க முடியும் என்ற நிலைக்கு ஆராய்ச்சி வந்தடைந்தது. இதைத் தவிர எல்லா விதமான மற்ற கோலங்களுக்கும் நான்கு வர்ணத் தேற்றம் உண்மைதான் எனத் தெரிய வந்தது.

1970 களில் ஹைன்ரிஹ் ஹீஷ்ச்( Heinrich Heesch) கணணி மூலம் நான்கு வர்ணக் கணக்கிற்கு தீர்வு காணும் முறையை முன்வைத்தார். ஆனால் அன்று இருந்த கணனிகள் முழுத் தீர்வு கண்டறியப் போதுமானதாக இருக்கவில்லை. ஆனால் இந்த 1936 வரைபடங்களுக்கும் நான்கு வர்ணங்களே போதுமானது என ஹீஷ்ச் வகுத்தக் கணணிப் பாதையைப் பயன்படுத்தி அர்பானா- ஷேம்பெய்ன் நகரில் உள்ள இல்லினாய் பல்கலையைச்(University of Illinois Urbana-Champaign) சேர்ந்த ஆப்பெல் மற்றும் ஹாக்கென் 1976 ஆம் ஆண்டு இல்லினாய் பல்கலைகழகத்தின் IBM  கணணி யை பயன்படுத்தி  நிறுவினார்கள்.  இதற்கு இவர்கள் பயன்படுத்திய அர்பானா- ஷேம்பெய்ன் நகரில் உள்ள அந்த கணணி கிட்டத்தட்ட 50 நாட்கள் பில்லியன் கணக்கான தர்க்க ரீதியிலான முடிவுகளை மேற்கொண்டு இந்த உண்மையை நிறுவ  உதவியது.  அதன் பின் அந்தப் பல்கலைக் கழகத்தின் கணிதப் பிரிவின் தபால் சின்னமாக (Postal seal)  “Four colors suffice”   என்ற வாசகம் பயன்படுத்தப் படுகிறது.

இதற்கு 1200 கணணி மணி நேரங்கள் தேவைப்பட்டன. கணணிக் கணிப்பின் மூலம் ஒரு உயர் கணிதப் பிரச்சினைக்குத் தீர்வு காணப்பட்டதில் கணிதவியலாளர்கள் மகிழ்ச்சி அடையவில்லை. மேலும் பல வித எதிர்ப்புகள் தெரிவிக்கப்பட்டன. ஆனாலும் 2005 ஆம் ஆண்டில் மைக்ரோசாஃப்டின் ஆராய்ச்சிப் பிரிவைச் சேர்ந்த வர்னர் மற்றும் குன்தியர் தேற்ற நிரூபண மென்பொருளைப் பயன்படுத்தி ஆப்பெல் மற்றும் ஹாக்கெனின் நான்கு வர்ணத் தேற்றத்தின் தீர்வு சரியானதே என நிறுவினார்கள்.[3]

கணணியைப் பயன்படுத்தி கணிதக் கேள்விக்கு விடை காண முடியும் என்ற புரிதலை, தெளிவை, புத்தொரு பாதையை உலகிற்கு அளித்த முன்னோடிகள் ஆப்பெல் மற்றும் ஹாக்கென். இவர்களால்தான் சோதனைக் கணிதம் (experimental mathematics) என்ற புதிய கணிதப் பிரிவு உருவானது. இன்று சில கணிதக் கேள்விகளுக்கு கணணி மூலம் மேற்கொள்ளப்படும் கணிப்புகள் (computations) தீர்வுகளாக ஒத்துக் கொள்ளப்படுகின்றன..

இவ்வளவு பெரிய கட்டுரையாக எழுதியதை ஒரு கவிதையில் இங்கு படிக்கலாம்.

***

குறிப்புகள்:

[1] அந்த ஆய்வறிக்கை பிரசுரமான வடிவில் இங்கே கிட்டுகிறது.

[2] ஹாக்கென் தன்னை மிக மெதுவாக இயங்குபவராகவும், ஆப்பெல் மிகத் துரிதமாக இயங்குபவராகவும் சித்திரிக்கிறார். 60களில் தான் இப்புதிருக்கு விடைகாண முயற்சித்த போது, கணனிகளின் துணை இன்றி இதைத் தீர்ப்பது கடினம் என்று கருதியதாகவும், கணனிகளுக்கு செயல்திட்டம் எழுதுவதில் திறன் பெற்றிருந்த ஆப்பெல்லின் உதவியை நாடியதாகவும் சொல்கிறார். ஆப்பெல் பணி புரிந்த இல்லினாய் பல்கலையின் I.B.M. 370-168 computer கணனிதான் இந்தப் புதிருக்கு விடை காண உதவியிருக்கிறது. விவரங்களுக்கு இங்கேயும்,   இங்கேயும் காணலாம்:

[3] குன்தியரின் கட்டுரை இங்கே: http://research.microsoft.com/en-us/um/people/gonthier/4colproof.pdf

மேலும் படிக்க:

Wilson, R. (2003), Four Colours Suffice, London, Penguin Books.