kamagra paypal


முகப்பு » கணிதம்

அலீசியா பூல் ஸ்டாட் பார்த்த நான்காம் பரிமாணம்

மனித சமுதாய முன்னேற்றத்திற்கு இன்றியமையாத தேவை மாறுபட்ட சிந்தனை. இன்று மனித சமுதாயம் பயன்படுத்தும் அனைத்து தொழில்நுட்ப முன்னேற்றத்திற்கும் அடிப்படையாக உள்ளது கணிதம் என்றால் மிகையாகாது. வெறெந்தத் துறையையும் போலவே கணிதத்திலும் மாறுபட்ட சிந்தனையாளர்கள் அரிதானவர்கள், ஆனால் கணித வரலாற்றில் எண்ணிக்கையில் இவர்கள் நிறையவே உள்ளனர். முறைப்படியான கல்வி வழிதான் சிந்தனையாளர்கள் எழுவர் என்று நாம் இயல்பாக இன்று கருதுகிறோம், ஆனால் கணிதத்தில் மாறுபட்ட சிந்தனையாளர்களில் முறையான கல்விப் பாதைக்குப் புறத்தே இருந்து வந்தவர்கள் பலர் உண்டு.  அவர்களில் ஒருவர் பற்றி இங்கு பார்ப்போம்.

கணிதத்தில் வடிவியல் முக்கியப் பங்களிக்கிறது. இரண்டாயிரம் ஆண்டுகளுக்கு முன் யூக்ளிட் எழுதிய “Elements” என்ற புத்தகம் தான் வடிவியல் சிந்தனையின் முன்னோடியாக 19 ஆம் நூற்றாண்டு வரை இருந்து வந்தது. அதனால் முப்பரிமாணம் வரையிலான தள வடிவியல்தான்   (plane geometry)  19 ஆம் நூற்றாண்டு வரை  அதிக பட்சமாக மனித சமுதாயம் அறிந்ததாக இருந்தது. ஆனால் மனித சிந்தனையை அடுத்த கட்டத்தை நோக்கி நகர்த்தியவர், 19 ஆம் நூற்றாண்டின் மிகப் புகழ் பெற்ற சிந்தனையாளரும், கணித மேதையுமான ரீமான் (Reimann). 1854 ஆம் ஆண்டு ஜூன் 10 ஆம் நாள், இரண்டாம் பரிமாணம், மூன்றாம் பரிமாணம் போல் n – வது பரிமாணம் (nth dimension ) என்ற கருத்தாக்கத்தை ஓர் முக்கியமான உரையில் முன் வைத்தார். இதில் முக்கியமாக நான்காம் பரிமாணம் பற்றிய புரிதல்தான் ஐன்ஷ்டைனின் (Einstein) ஆராய்ச்சியில் பெரிதும் உதவியது.

முறையான கல்வியின் மூலம் நாம் பெறுவது அறிவு. ஆனால் முறையான கல்வி கற்கும் வாய்ப்பில்லாமல் சுய சிந்தனையின் மூலம் கண்டறியும் உண்மைகள் மனித சமுதாயத்தை முன்னகர்த்துகின்றன. அந்த வகையில் நான்காம் பரிமாணத்தைப் பற்றி இயற்கையிலேயே “பார்க்கும்” திறமையுடன் ஜனித்தவர் தான் அலீசியா  பூல் ஸ்டாட்(Alicia Boole Stott) . இவரது இந்தத் திறமைக்கு இவரின் தாய் மேரி பூல் (சென்ற கட்டுரையில் இவரைப் பற்றிப் பார்த்தோம்) கற்பிக்கும் முறை ஒரு காரணமாக இருக்கலாம். இந்தக் கட்டுரையில் அலீசியாவின் சுருக்கமான வாழ்க்கை வரலாற்றையும், அவரின் கணிதப் பங்களிப்பையும் பார்ப்போம். இதற்கு தேவையாக நான்காம் பரிமாணம் பற்றிய சிறிய அறிமுகமும், யுக்ளிடின் மூன்றாம் பரிமாண திண்மங்கள் குறித்த குறிப்பும் இங்கு இடம் பெறும்.

மேரி பூல் மற்றும் ஜார்ஜ் பூலின் நான்காவது குழந்தைதான் அலீசியா. இவருக்கு நான்கு வயதிருக்கும் போதே இவர் தந்தை இறந்து போனார். அதனால் இவருக்கு ஜார்ஜ் பூல் என்ற கணித மேதையிடம் இருந்து கற்கும் வாய்ப்பு கிடைக்கவில்லை. ஆனால் இவரின் தாய் மேரியிடம் இருந்து அடிப்படைக் கணிதம் கற்றார். அந்த கால கட்டத்தில் இங்கிலாந்தில் பெண்களுக்கு கணிதம் மற்றும் அறிவியல் படிக்கும் வாய்ப்பு இல்லாததால் இவருக்கு கணிதத்தில் பெரிய அளவு படிக்க முடியாமல் போனது. அலீசியா படித்த அதிகபட்ச கணிதமென்றால் யூக்ளிடின் “Elements” முதல் இரண்டு பாகம் தான். சிறு வயது முதலே அலீசியா நான்காவது பரிமாணத்தைக் கற்பனையில் காணும் திறமை பெற்றிருந்தார். சிறு வயதில் அலீசியாவுக்கு ஹோவர்ட் ஹிண்டன் (Howard Hinton) என்ற பள்ளி ஆசிரியரின் அறிமுகம் கிடைத்தது. ஹிண்டனுக்கு நான்காவது பரிமாணத்தின் மீது ஆர்வமிருந்தது. ஹிண்டனின் கற்பனையால் கவரப்பட்ட அலீசியா நான்காவது பரிமாணத்தைப் பற்றிய தன் ஆர்வத்தை வளர்த்துக் கொண்டார்..

ஏற்கனவே நான்காம் பரிமாணத்தில் ஒழுங்கான ஆறு பன்வகைகள் (polytopes) இருப்பதை அறியாமல், அலீசியாவும் அவைகளைத் தானாகவே கண்டறிந்தார். மேலும் அந்த ஆறு பன்வகைகளுக்கு மூன்றாம் பரிமாணத்தின் குறுக்கு வெட்டு (cross section) மாதிரிகளை அட்டையை (card board) வைத்து உண்டாக்கினர். இதே நேரத்தில் ஹாலந்து நாட்டில் ஷௌடே (Schoute) என்ற பேராசிரியர் பகுப்பாய்வு முறையில் அலீசியா கண்டறிந்த அதே போன்ற நான்காம் பரிமாணத்தின் ஒழுங்கான பன்வகைகளின் மூன்றாம் பரிமாணக் குறுக்கு வெட்டுக்களைப் பற்றிய ஆராய்ச்சிக் கட்டுரையை வெளியிட்டிருந்தார். அதனை தன் கணவர் மூலம் அறிந்த அலீசியா தன் அட்டை மாதிரிகளை புகைப்படம் எடுத்து ஷௌடேக்கு அனுப்பினார். அதைப் பார்த்த ஷௌடே ஆச்சிரியப்பட்டார். மேலும் அலீசியாவுடன் சேர்ந்து தன் ஆராய்ச்சியை தொடர முடிவு செய்தார். அலீசியா தன் கண்டறிதலை ஆராய்ச்சிக் கட்டுரையாக வெளியிட்டார். ஷௌடேவின் பரிந்துரையலின் பேரில் அலீஸியாவுக்கு க்ஹோனிங்கன் (Groningen) பல்கலைக்கழகம் 1914 ஆம் ஆண்டு கௌரவ முனைவர் பட்டம் கொடுத்தது. ஷௌடே இறந்த பிறகு பதினேழு ஆண்டுகள் அலீசியா கணிததத்தை விட்டு முழுவதும் விலகி இருந்தார். 1930 ஆம் ஆண்டு தன் எழுபதாவது வயதில் இருபத்தி மூன்று வயதுடைய காக்ஸிடரின் (Coxeter) அறிமுகம் கிடைத்ததில் மீண்டும் கணித ஆராய்ச்சியில் ஈடுபட்டார். இந்த ஒத்துழைப்பு இவர் இறக்கும் வரை தொடர்ந்தது.

பரிமாணங்கள்

ஒரே ஒரு புள்ளியை எடுத்துக் கொண்டால் அதனை ௦-பரிமாணம் என்கிறோம். இரண்டு புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்கோடு ஒற்றைப் பரிமாணமாகும். இதிலுள்ள புள்ளி இந்த நேர்கோட்டில் வலது அல்லது இடது பக்கம் நகர முடியும். இந்த நேர்கோட்டுக்கு செங்குத்தாக சற்று உயரத்தில் ஓர் இணை கோடு வரையவும். பிறகு இரண்டு இணைகோடுகளை இணைத்தால் ஒரு சதுரம் கிடைக்கும். சதுரத்திலுள்ள புள்ளியானது வலது, இடது, மற்றும் மேலே, கீழே நகர முடியும். எனவே இது இரண்டாவது பரிமாணத்தை குறிக்கும். இதே போல் இரண்டு சதுரங்களை எடுத்துக் கொண்டு ஒரு சதுரத்தின் நான்கு மூலைப் புள்ளிகளை அடுத்த சதுரத்தின் நான்கு மூலைப் புள்ளிகளுடன் இணைத்தால் ஒரு கனசதுரம் கிடைக்கும். கனசதுரத்தில் நீளம், அகலத்துடன் உயரமும் சேர்ந்து கொள்வதால் இது மூன்றாவது பரிமாணத்தைக் குறிக்கிறது. கனசதுரத்திற்கு ஆறு முகங்களும் (faces), எட்டு உச்சந்தலைகளும் (vertices), பனிரெண்டு விளிம்புகளும் (edges) இருக்கும்.இப்போது இரண்டு கனசதுரங்களை எடுத்துக் கொள்வோம். முதல் கனசதுரத்தின் எட்டு உச்சந்தலைகளை இரண்டாவது கனசதுரத்தின் உச்சந்தலைகளுடன் சேர்த்தால் கிடைப்பது நான்காவது பரிமாணத்தைச் சேர்ந்த நான்றடுக்கு அல்லது மிகை கனசதுரம் (Hyper cube) ஆகும்.

நாம் மூன்றாம் பரிமாணத்தில் வாழ்வதால் நான்காவது பரிமாணத்தைப் பார்ப்பது என்பது இயலாது. அதனைக் கற்பனை செய்யலாம். மூன்றாம் பரிமாணத்திலிருக்கும் நாம் தரையில் சற்று தூரத்தில் கிடக்கும் இரண்டாம் பரிமாணத்தைச் சேர்ந்த ஒரு தாளை முழுதும் பார்க்க முடியும். ஆனால் இரண்டாம் பரிமாணத்தில் இருக்கும் சதுரத் தாள் மற்றொரு தாளை முழுதும் பார்க்க முடியாது.அதே போன்று நம்மால் ஒரு பீரோவை முழுவதும் பார்க்க முடியாது. அதனுடைய குறுக்கு வெட்டுத் தோற்றத்தைத் தான் பார்க்க முடியும். ஏனென்றால் நாமும், பீரோவும் இருப்பது மூன்றாம் பரிமாணம். நான்காம் பரிமாணத்திலிருந்து ஒரு பீரோவை முழுவதும் பார்க்கலாம். அதே நேரத்தில் இரண்டாம் பரிமாணத் தாள் ஒரு கோளத்தைப் பார்க்கும போது ஒரு வளையம் தான் தெரியும். இதைப் போன்று மூன்றாம் பரிமாணத்தைச் சேர்ந்த நாம் நான்காம் பரிமாணத்தில் இருக்கும் மிகை கனசதுரத்தைப் பார்த்தால் ஒரு கனசதுரம் தான் தெரியும்.
இந்தக் காணொளி மேலே கூறியுள்ளதை மிக அழகாக விளக்கியுள்ளது.

ஒரு கனசதுர அட்டைப் பெட்டியை பிரித்து இரண்டாம் பரிமாணத்தில் விரித்துப் போட்டால் இப்படி இருக்கும்.

அதே போல் மிகை கனசதுரத்தையும் கீழே காண்பது போல் பார்க்க முடியும்.

யூக்ளிடும், பிளேட்டோனிக் திண்மங்களும்

பிளேட்டோனிக் திண்மம் என்பது முப்பரிமாணத்திலிருக்கும் திண்மம். அதனுடைய ஒவ்வொரு முகமும் ஒரே மாதிரியான ஒழுங்குப் பலகோணமாகவும் (regular ploygon) மற்றும் ஒவ்வொரு உச்சந்தலையிலும் ஒரே எண்ணிலான முகங்களும் (same number of faces) இருக்கும்.. உதாரணத்திற்கு கனசதுரத்தை எடுத்துக் கொள்வோம். அதன் ஒவ்வொரு முகமும் சதுரமாகவும் மற்றும் ஒவ்வொரு உச்சந்தலையிலும் மூன்று முகங்கள் சந்திப்பதையும் காணலாம். யூக்ளிட் மூன்றாம் பரிமாணத்தில் ஐந்து பிளேட்டோனிக் திண்மங்கள் தான் இருக்கும் என நிறுவினார். அவைகள்: நான்முகத்திண்மம் ( Tetrahedron-மூன்று முக்கோணங்கள் ஒவ்வொரு உச்சந்தலையிலும் சந்திக்கும்), ) கனசதுரம் ((Cube-மூன்று சதுரங்கள் ஒவ்வொரு உச்சந்தலையிலும் சந்திக்கும்), எண்முகத்திண்மம்(Octahedron-நான்கு முக்கோணங்கள் ஒவ்வொரு உச்சந்தலையிலும் சந்திக்கும்), பனிரெண்டுமுகத் திண்மம்(Dodecahedron-மூன்று ஐங்கோணங்கள்ஒவ்வொரு உச்சந்தலையிலும் சந்திக்கும்) மற்றும் இருபதுமுகத்திண்மம் (Icosahedron-ஐந்து முக்கோணங்கள் ஒவ்வொரு உச்சந்தலையிலும் சந்திக்கும்) ஆகும். இதை யூக்ளிட் எப்படி நிறுவினர் என்பதை வேறு கட்டுரையில் பார்ப்போம்.

லீசியாவும், நான்காம் பரிமாண திண்மங்களும்

பத்தொன்பதாம் நூற்றாண்டின் இறுதியில் நான்காம் பரிமாணம் பற்றிய புரிதலும், ஆராய்ச்சியும் முன்னெடுக்கப் பட்டன. இதில் பலர் ஈடுபட்டிருப்பினும், இயற்கையாக நான்காம் பரிமாணத்தைப் பற்றி அறிந்திருத்த அலீசியாவின் பங்கு மிகவும் போற்றத் தக்கது. யூக்ளிட் எப்படி மூன்றாம் பரிமாணத்தில் ஐந்து திண்மங்கள் தான் இருக்குமென நிறுவினாரோ, அதே போன்று மூன்றாம் பரிமாணத்தின் ஐந்து திண்மங்களுக்கு இணையாகவும், அதன் தொடர்ச்சியாகவும் நான்காம் பரிமாணத்தில் ஐந்து மிகைத் திண்மங்களும் (hyper solids) அல்லது பன்வகைகளும் (polytypes) மேலும் ஒரு பன்வகையுமாக ஆறு பன்வகைகள் நான்காம் பரிமாணத்தில் இருக்கும் என அலீசியா கண்டறிந்தார்.. நான்காம் பரிமாணத்தில் இருக்கும் பன்வகைகளின் மிகைமுகங்கள் (hyperfaces) மூன்றாம் பரிமாணப்  பிளாடோனிக் திண்மங்களாக இருக்கும். அதனை அலீசியா செல் (cell) என அழைத்தார். எனவே எட்டு செல்களால் ஆனது தான் மிகை சதுரமாகும். ஐந்து, பதினாறு, இருபத்தி நான்கு, நூற்றி இருபது மற்றும் அறநூறு செல்களைக் கொண்டிருக்கும் மற்ற ஐந்து நான்காம் பரிமாணப் பன்வகைகள்.

600- செல்லின் செங்குத்து குறுக்கு வெட்டு மாதிரி University Museum of Groningen)

600- செல்லின் செங்குத்து குறுக்கு வெட்டு மாதிரி University Museum of Groningen)

அவை பற்றிய ஒரு காணொளியை இங்கே காணலாம்.

இந்தக் கட்டுரையின் பேசு பொருள் குறித்து மேலும் தெரிந்து கொள்ள ஆவலிருப்பின் இந்தச் சுட்டியில் படிக்கலாம். இந்தக் கட்டுரையில் மேற்கோள் காட்டப்பட்ட படங்களும் இந்தச் சுட்டியிலிருந்தே எடுக்கப்பட்டவை.

http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/jgosanch//Publications/Sections_of_polytopes.pdf

___________________________________________________

குறிப்பு: மேலும் சில தகவல்கள் இங்கே:

http://www.agnesscott.edu/lriddle/women/stott.htm

http://dissertations.ub.rug.nl/FILES/faculties/science/2007/i.polo.blanco/c5.pdf

Comments are closed.