kamagra paypal

முகப்பு » தொகுப்பு

கணிதம் பகுதியில் பிற ஆக்கங்கள்

இயற்பியல், கணிதம், கணிதவியல் »

ஒளி – இப்போதும் இனியும்

நாம் உண்மையாகவே புரட்சிகரமான மாற்றத்தைக் கணிப்பதானால் எதிர்கால கணினிகள் ஈரிணை ஒளிக்கணினிகள் (binary optical computer) என்று சொல்லப்பட மாட்டாது. அவை க்வாண்டம் கணினிகளாகவே (Quantum computers) செயலாற்றும். .. .. .. மீபொருட்களில் வேறொரு சுவாரசியமான துறை, ஒளிப் போர்வைகள் (optical cloaks). ஹாரி பாட்டர் தன்னை மறைத்துக் கொள்ள போர்த்துக் கொள்ளும் போர்வை நினைவுக்கு வரலாம். ஒரு பொருளின் மீது விழும் ஒளி சிதறும்போதுதான் நாம் அப்பொருளைப் பார்க்க முடிகிறது. .. .. .. கடலில் உள்ள மீன்கள் சில, கடல் நீருக்கு இணையான ஒளித்திரிபு எண் கொண்டிருப்பதால் பார்வைக்குப் புலப்படாமல் நீந்துகின்றன.

அறிவியல், இயற்பியல், கணிதம் »

ஒளி – அலையும் துகளும்

இந்திய விஞ்ஞானியாகிய எஸ். என். போஸ் (1894-1974), போஸான்கள் என்று அவரை கௌரவிக்கும் வகையில் அழைக்கப்படும் துகள்களின் புள்ளியிய விசையியலை (statistical mechanics) பயன்படுத்தி நேரடியாகவே இந்தச் சமன்பாட்டைத் தோற்றுவித்தார். இவ்வொளித் துண்டங்கள் (ஃபோடான்கள்), போஸ் – ஐன்ஷ்டைன் புள்ளியியல் விதிகளுக்கு உட்படும் போஸான்களாகவும் இருக்கின்றன. ஆற்றல் துண்டம் என்ற கருத்துருவை உள்ளடியே உள்ள ஒன்றாக ஐன்ஷ்டைன் துணிந்து கருதி, வெகுகாலமாக விடையற்ற புதிராய் இருந்த வேறொரு கேள்விக்கு விளக்கம் கண்டார்: அதுதான் ஒளிமின் விளைவு (photoelectric effect).

அறிவியல், இயற்பியல், கணிதம் »

ஒளி ஒரு குறுஞ்சரித்திரம்- பாகம் 2

ஒளி ஒரு மின்காந்த அலை எனில், அது ஏதோ ஒரு ஊடகத்தின் வழியே பரவ வேண்டும் என்று அன்றிருந்த அறிவியலாளர்கள் கருதினார்கள். இந்த எதிர்பார்ப்பு இயல்பான ஒன்றே. இதையடுத்து, ஈதரைக் கண்டறியும் தேடல் துவங்கிற்று. ஈதர் விண்வெளி எங்கும் நிறைந்த, கோள்களும் உடுக்களும் அதனூடே விரையும்போதும் அசையாது நின்ற ஒன்று. ஆல்பஹ்ட் மிஹெல்ஸன் (Albert Michelson:1852-1931) மற்றும் எட்வர்ட் மோர்லி (Edward Morley:1838-1923) இயற்பியலின் மிகப் புகழ்பெற்ற எதிர்மறை சோதனை முடிவுகளை வெளியிட்டபோதுதான் இந்தத் தேடல் முடிவுக்கு வந்தது- அவர்களது ஆய்வுகள் ஈதர் என்ற ஒன்றில்லை என்று உறுதி செய்தன. பூமி ஈதர் எனும் ஊடகத்தில் நகர்வதாக வைத்துக் கொண்டால் பூமிக்கு வெளியே ஒளி பரவும் வேகமும், ஈதரில் நகர்ந்து கொண்டிருக்கும் பூமியில் ஒளி பரவும் வேகமும் வேறுபட வேண்டும். ஆனால் சோதனை முடிவுகள் அவ்வாறு இல்லை என்பதை நிறுவின. எது நகர்கிறதோ இல்லையோ, ஒளியின் வேகம் மாறுவதில்லை. 1905ஆம் ஆண்டு ஆல்பர்ட் ஐன்ஷ்டைன் (1879-1955) முன்வைத்த சார்பியல் சிறப்புக் கோட்பாடு ஈதரின் இருப்பை முழுமையாக நிராகரித்தது. பூரண வெற்றிடத்தில் ஒளி பரவும் என்பதை நிறுவிற்று.

அறிவியல், கட்டுரை, கணிதம் »

ஒளி – ஒரு குறுஞ்சரித்திரம்

இன்று நீங்கள் மருத்துவரைப் பார்ப்பதானால் கண்ணாடி மாற்றிக் கொள்ளவோ காண்டாக்ட் லென்ஸ் பொருத்திக் கொள்ளவோ கண் மருத்துவரை நாடுகிறீர்கள். அல்லது வெவ்வேறு இயந்திரங்களின் அலைவரிசைகள் உங்கள் உடலை ஊடுருவி கண்ணுக்குத் தெரியாத உறுப்புகளை, அவற்றின் இயக்கங்களை, ஒளி கொண்டு வரைந்து கொடுக்கின்றன- ஒளி என்றால் என்ன என்று யாரிடமாவது கேட்டால், அவர்கள் “அது ஒரு சக்தி”, “அது ஒரு வெப்பம்”, “அது நாம் பார்க்க உதவுகிறது” என்றெல்லாம் சொல்லக்கூடும். ஒளி என்றால் என்ன என்பதை நாம் யோசித்துப் பார்க்காமலேயே பதில் சொல்லக்கூடிய வகையில் அறிந்திருக்கிறோம், ஆனால் பல்லாயிரக்கணக்கான ஆண்டுகளுக்குப் பின்னர், இருபதாம் நூற்றாண்டின் துவக்கங்களில்தான் ஒளியின் அடிப்படைத் தன்மை என்ன என்பதை நம்மால் புரிந்து கொள்ள முடிந்தது- மின் மற்றும் காந்த மண்டலங்களின் மிக நுட்பமான பின்னல் அது, ஒளி தன் இயல்பில் அலை போலவும் துகள் போலவும் பரவக்கூடிய தன்மை கொண்டது. இது குறித்த தேடலின் சாதனைகள் மற்றும் தேடல் நாயகர்களை அறிந்து கொள்ள ஒரு சிறு பயணம் மேற்கொள்வோம்.

கணிதம், தத்துவம், தொடர்கள் »

அறிதலின் பேரிடர்

இந்த அறிதல் முறைமையின் அடிப்படையில் அடுத்து வரும் இன்னொரு புதிய பறவையை கவனிக்க ஆரம்பிக்கிறோம். அது வாயிலின் வழியே பறந்துவந்து அமர்ந்து கூ..கூ..கூ என்று இனிமையாக கூவுகிறது. சிலர் அந்த இசையில் மெய்மறக்கிறார்கள். வேறு ஒரு கூட்டம் முன்பு வந்த காகத்துக்கும் இதற்கும் என்ன தொடர்பு என்று பேசிக்கொண்டே இருக்கிறார்கள். மரங்கள், விலங்குகள் என்று வரும் ஒவ்வொன்றையும் அவதானிக்கிறோம். இவ்வாறு சுவரின் அந்தப்புறம் இருந்து வரும் அனைத்து பொருட்களையும் இந்தப்புறம் அமர்ந்து அவதானிக்கிறோம். அந்த சிறுசிறு அவதானிப்பில் இருந்து கட்டி எழுப்பிய கோபுரங்கள்தான் இன்று நாம் காணும் ஒவ்வொரு அறிவுத்துறையும்.

கணிதம் »

ஆனந்தக் கோலங்கள் – நம்மவரின் அற்புத கணிதப் பயணங்கள்

நம் வாழ்வில் நம்மோடுள்ள பெண்கள் மூலம் நம்மில் பெரும்பாலானோர் கற்றுக் கொள்ளும் செவ்விய வடிவ கோலங்களில் ஒவ்வொரு கோலத்துக்கும் இத்தனை வரிசை, வரிசைக்கு இத்தனை புள்ளி என்று ஒரு ஒழுங்கு உண்டு. இவற்றைக் கொஞ்சம் சிரமப்பட்டுதான் கற்றுக் கொள்ள வேண்டும், கற்றுக் கொண்டதை நினைவில் வைத்துக் கொள்வதும் கஷ்டம்- இதற்கென்றே கோலப்புத்தகங்கள் இருக்கின்றன. ஆனால் வரிசைப்படுத்தப்படாத, ஒழுங்கற்ற வகையில் (random) அமைக்கப்பட்ட புள்ளிகளைக் கொண்டும் மிகவும் சிக்கலான கோலங்கள் வரைய முடியும் என்று சொன்னால் எப்படி இருக்கும்? ஒரு கிரிக்கெட் மைதானத்தை நிரப்பும் அளவுக்கு ஏராளமான புள்ளிகள்,..

கணிதம், புத்தக அறிமுகம் »

வருக்கத்தொகையும் பின்னபாகாரமும்

கணக்கு என்பது எண்களும் எண்கள் சார்ந்தவையும் என்று நினைப்பது செல்பேசி என்பது நண்பருடன் பேசுவதற்கானது மட்டுமே என்று நம்புவதைப் போல், இந்த நம்பிக்கை முட்டாள்தனமானது. செல்பேசியில் மற்றவரை அழைக்கலாம்; உரையாடலாம். அதில் விளையாடவும் செய்யலாம். கூடவே, மின்னஞ்சல் அனுப்பலாம்; பாட்டு கேட்கலாம். அதே போல் கணிதம் என்பது எண்களை வைத்து கணக்குப் போடுவதற்கும் பயன்படும்; ஆனால், அது தவிர நூற்றுக்கணக்கான மற்ற விஷயங்களையும் கொண்டிருக்கிறது.

அறிவியல், கணிதம், தத்துவம், திரைக்கதை, தொடர்கள், விளையாட்டு »

சின்னச்சின்ன சிந்தனைச்சோதனைகள்

ஒரு கிராமத்தில் சில நூறு ஆண்கள் வாழ்வதாகக்கொள்வோம். அதில் பலர் தங்கள் முகத்தை தாங்களே சவரம் செய்து கொண்டு விடுகிறார்கள். மற்றவர்கள் சவரம் செய்துகொள்ள அதே கிராமத்தில் வாழும் நாவிதரை நாடுகிறார்கள். கிராமத்தில் இருப்பவர் ஒரே ஒரு ஆண் நாவிதர்தான். அவர் தனக்குத்தானே சவரம் செய்து கொள்கிறார். இப்போது நாவிதரிடம் சவரம் செய்து கொள்பவர்களை ஒரு அணியாகவும், தாங்களே சவரம் செய்து கொள்பவர்களை ஒரு அணியாகவும் பிரித்தால், நாவிதரை எந்த அணியில் சேர்க்க வேண்டும்?

அறிவியல், கணிதம், சமூக அறிவியல், பொருளாதாரம் »

பொருளாதார சிந்தனைச்சோதனைகள்

மிச்சிகன் பல்கலைக்கழகத்தை சேர்ந்த பேராசிரியர் ராபர்ட் ஆக்ஸில்ராட், நீதி, நியாயம் என்றெல்லாம் சமூகம் நமக்கு போதிப்பதை ஓரங்கட்டிவிட்டு அறிவியல் பூர்வமாக வாழ்வில் நாம் எப்படி நடந்து கொள்வது லாபகரமானது என்று ஆய்ந்து பார்க்க முடிவெடுத்தார். இந்த ஆய்வுக்காக 1980 வாக்கில் அவர் ஒரு போட்டியை அறிவித்தார்.

அறிவியல், கணிதம், கல்வி, தத்துவம் »

இயற்பியல் சிந்தனைச்சோதனைகள்

ஒரு இரும்புப்பெட்டி. பெட்டிக்குள் ஒரு பூனை. அதே பெட்டிக்குள் ஒரு கண்ணாடிக்குடுவையில் கொஞ்சம் விஷம். தனியாக இன்னொரு பாத்திரத்தில் கதிரியக்கத்தன்மை உள்ள ஒரு சமாச்சாரம் அது ஒரே ஒரு அணுவாகக்கூட இருக்கலாம். அடுத்த ஒரு ஒரு மணிநேரத்தில் அந்தப்பெட்டிக்குள் கதிரியக்கம் நிகழும் சாத்தியக்கூறு 50 சதவீதம். கதிரியக்கம் நிகழ்ந்தால் அதை உணர ஒரு உணர்வி (Geiger Counter). கதிரியக்கம் நிகழ்ந்து விட்டால், அந்த உணர்வி இயங்கி ஒரு சுத்தியலால் அந்த விஷக்குடுவையை உடைத்து விடும். எனவே விஷம் பெட்டிக்குள் பரவி பூனை பரலோகம் போய்ச்சேரும்.

அறிவியல், கணிதம், தத்துவம் »

கணிதசிந்தனைச்சோதனைகள்

ஹில்பர்ட் தனது கற்பனையில் கட்டிய விடுதியில் உள்ள மொத்த அறைகளின் எண்ணிக்கை முடிவிலி! அதனால் விடுதியின் விளம்பர வாசகமே, “ஹில்பர்ட் ஹோட்டலில் இடமில்லையாவது..?” என்பதுதான். எங்கள் விடுதி நிரம்பி இருந்தாலும், வரும் விருந்தினர்களை எப்போதும் திருப்பி அனுப்ப மாட்டோம் என்பது அவர்கள் தரும் உத்திரவாதம். விடுதி இருக்கும் ஊரில் ஒரு பெரிய கணித மாநாடு நடப்பதால் ஒரு வாரம் அத்தனை அறைகளும் புக் செய்யப்பட்டு…

கணிதம் »

ஃபீல்ட்ஸ்  பதக்கம் – ஓர் எளிய அறிமுகம்

1932 ஆம் ஆண்டு பீல்ட்ஸ் கணிதத்திற்கான பரிசைக் கொடுக்க பல நாடுகளின் ஆதரவு இருப்பதாகத் தெரிவித்தார். மேலும் இந்தப் பதக்கம் 40 வயதிற்கு உட்பட்டவர்களுக்கே கொடுக்கப்பட வேண்டும் என்றார். இதற்குக் காரணமாக “ஏற்கெனவே கணிதத்தில் செய்த சாதனைக்காகவும், பரிசு பெற்றவர்கள் எதிர்காலத்தில் ஊக்கத்துடன் செயல்படவும் மற்றவர்களுக்கு ஒரு தூண்டுகோலாகவும் அமைய வேண்டும்” என்பதை முன் வைத்தார். ஆனால் எதிர்பாராதவிதமாக ஃபீல்ட்ஸ் 1932 ஆம் ஆண்டு ஆகஸ்ட் மாதம் தீடீரென காலமானார். மரணப்படுக்கையில் இருக்கும்போது உயில் எழுதிய பீல்ட்ஸ்…

கணிதம், தொடர்கள், தொழில்நுட்பம் »

மறையீட்டியலும் கணிதமும்

இது போல் ஒரு வருடம் தொடர்ந்தது. மூவருக்கும் ஒரு விதமான சோர்வு மனப்பான்மை ஆட்கொண்டது. அந்தச் சமயத்தில் மூவரும் பாஸ் ஓவர் (Passover) என்ற யூத விடுதலை நாளைக் ஒரு மாணவன் வீட்டில் Manischewitz வைன் சிறிது அதிகமாகவே குடித்து விட்டு நள்ளிரவில் அவரவர் இருப்பிடம் திரும்பினார்கள். ரிவேஸ்ட்டுக்கு தூக்கம் வரவில்லை. ஒரு கணிதப் புத்தகத்துடன் சோபாவில் அமர்ந்து கொண்டு சிந்தித்த போது, திடீரெனத் தான் தேடிக் கொண்டிருந்த கேள்விக்கான விடை உதித்தது. அன்றிரவே ஓர் அருமையான கணிதக் கட்டுரையை ரிவேஸ்ட் எழுதி முடித்தார். ஷமீர் மற்றும் அல்டெர்மென் உதவியுடன் பொதுத் திறவி மறையீட்டாக்கம் செயல்படுத்தும் முறை முழுமை பெற்றது. அதுதான் புகழ்பெற்ற RSA மறையீடக்கமாகும்.

கட்டுரை, கணிதம் »

சார்புகள் – நுண்கணிதத்தின் நுழைவாயில்

நீங்கள் பைக் அல்லது காரில் பயணிக்கிறீர்கள். உங்களுடைய வேகம் எப்படி கணிக்கப்படுகிறது? நீங்கள் பயணித்த தூரத்தை, பயணம் செய்த நேரத்தால் வகுத்தால் கிடைப்பது வேகமாகும். நீங்கள் ஸ்பீடாமீட்டரைப் பார்க்கும்போது அது 40 கி.மீ. வேகத்தில் செல்வதாக காண்பிக்கிறது. இங்கு நீங்கள் ஸ்பீடாமீட்டரை பார்க்கும் கணத்தில் வண்டி செல்லும் தூரம் சூன்யம்தான். அதாவது பயணித்த தூரம் மற்றும் நேரம் இரண்டுமே சூனியம்தான். இங்கும் 0/0 தான் கிடைக்கிறது. ஆனாலும் எப்படி ஸ்பீடா மீட்டர் 40 கி. மீ. எனக் காண்பிக்கிறது?

அறிவியல், ஆளுமை, கணிதம் »

நாமகிரித் தாயாரின் அருள் : ராமானுஜன் – 126

கணித உலகில் ராமானுஜன் (1887-1920) அவர்களின் தாக்கம் (legacy) இன்று வரை தொடர்வதற்கான காரணிகள் என்ன? ராமானுஜத்தால் கவரப்பட்டு, அவரது கணித ஆராய்ச்சிகளை முன்னெடுத்த இன்றைய கணித வல்லுனர்கள் என்ன கூறுகிறார்கள்? ராமானுஜனைக் கொண்டாடும் நாம்,ஒரு சிறு துளியாவது அவரது கணிதம் குறித்து நமக்கு அறிந்து கொள்ள முயலுகிறோமா?